循環小数は、 k /(2 n 5 m ) の形式ではない特定の既約分数の小数を表す方法です。これらの 10 進表現には、分数の最後に無限に繰り返されるパターンが含まれます (この繰り返しパターンは 1 桁ほど短い場合もあります)。
無限に広がるシーケンスの部分を示すため、または繰り返される数字に下線を引くために、繰り返される小数点の上にピリオドを置くことができます。これが不可能な場合、内線番号は (…) で表すことができますが、この方法ではどの桁を繰り返す必要があるかが不明確になります。
- 1/9 = 0.111111111111…
- 1/7 = 0.142857142857…
- 1/3 = 0.333333333333…
- 2/3 = 0.666666666666…
- 7/12 = 0.58333333333…
分数の計算
繰り返される小数が与えられると、それを生成した分数を計算することができます。例えば ：
x = 0.333333... 10x = 3.33333... (線の両側に 10 を掛けます) 9x = 3 (2 行目の減算 - 1 行目) x = 3/9 = 1/3 (簡略化)
別の例:
x = 0.18181818... 100x = 18.181818... 99x = 18 x = 18/99 = 2*9/11*9 = 2/11 * 9/9 = 2/11 * 1 = 2/11
これらの例の後、分数n / dの繰り返し小数の周期は、(最大でも) 10 k − 1 がdで割り切れる最小の数kになることがわかります。
たとえば、分数 2/7 はd = 7 であり、999999 = 7 × 142857 であるため、7 で割り切れる 10 k − 1 を与える最小のk はk = 6 です。したがって、分数 2/7 の周期は 6 になります。 。
有理数の末尾の小数点以下の桁を繰り返す必要がある理由
分数で表された有理数を10 進数形式に変換するには、長除法を使用できます。たとえば、有理数 5/74 について考えてみましょう。
0.0675 74\5.000000 4 44 560 518 420 370 500
など。各ステップで余りがあることを観察してみましょう。上に示した連続する剰余は 56、42、50 です。剰余 50 に達して「0」を下げると、500 を 74 で割ることになります。これは で始めた問題と同じです。したがって、小数が繰り返されます: 0.0675675 675 … すでに前に確認した剰余がわかります。可能な残りは 0、1、2、…、73 のみです (この場合は 74 です)。すでに取得されている残りが見つかるとすぐに、シーケンス全体が繰り返されます。
0.99999の場合…
繰り返しの小数から分数を計算する方法、特に 1 = 0.9999 9 … の場合、素朴な方法で挑戦されることがあります。 2 つの実数が別個である場合、その間には (厳密には) 他の実数が無限に存在する、というのが良い議論です。ただし、0.9999 9 (9 の無限大) と 1 の間には他の実数は存在しません。したがって、これは 2 つの異なる方法で書かれた、まったく同じ実数です。
時々、次のようなデモンストレーションも行います。
x = 0.9999 9 ... 10.x = 9.999 9 ... 10x - x = 9.999 9 ... - 0.9999 9 ... 9.x = 9 x = 1
上記の2 番目のステップでは、10.x は 9.9999…0 であり、 0.99 9ではないと主張する人もいます。しかしそうではありません。 RHS は終わらない (繰り返し起こる) ため、ゼロが見つかる終わりはありません。
説得力は劣りますが、より正式な証明として、次のことを検討できます。
- $$ {x_n = {10^n-1 \over 10^n}} $$
それは与える
- $$ {x_1 = {9 \over 10} = 0,9} $$、$$ {\ x_2 = {99\over 100} = 0,99\} $$そして$$ {\ x_3 = {999\over 1000} = 0,999} $$
そのとき私たちはそれを「見る」のです
- $$ {\lim_{n \to \infty}{x_n} = 0,999\underline{9}…} $$
だけでなく
それで、
より正式な数学的表記法を使用した上記の説明は、算術証明よりも印象的ですが、説得力が劣ります。重要なステップである 10n による除算は現在完了していません。しかし、算術証明を明らかに補完する制限を使用した証明は適切であり、より簡単です。限界を理解していない人でも続けることができます。
これを一般化すると、有限小数表現 (小数部) を持つ任意の数値は、循環小数のように 2 番目の方法で書くことができます。
たとえば、3/4 = 0.75 = 0.75000000 0 … = 0.7499999 9 …
