導入
数学では、アプリケーションは2 つのセット間の関係であり、最初のセットの各要素 (開始セットまたはソースと呼ばれる) が 2 番目の一意の要素 (到着セットまたはゴール) にリンクされます。この用語は関数の用語と競合しますが、後者は数値のセット間の適用をより具体的に指定することもあれば、逆に、開始セットの各要素が到着セットの最大1 つの要素に接続される関係をより広く包含することもあります。
したがって、アプリケーションは集合論のオブジェクトであり、そのグラフによって定義され、イメージと先行詞の概念に関連付けられます。これは、到着セットの各要素の一意性または先行詞の存在に応じて、単射的または全射的になります。これら 2 つのプロパティの結合により全単射が定義され、相互適用が可能になります。アプリケーションを構成したり、開始セットのサブセットに制限したりすることもできます。
解析の文脈の外では、この用語は特に、アフィン幾何学、線形代数、トポロジー、および力学システム理論で指定されます。特に圏論では、演算子や射、さらには矢印に置き換えられることもあります。
機能と用途
2 種類のオブジェクト間の対応関係としての関数の概念は比較的古いものです。しかし、この用語は17 世紀末の 1694 年にライプニッツのペンによって初めて登場しました。当時は幾何学的な曲線に関連付けられた関数でした。ライプニッツはこのように、ある点における曲線の横座標、縦座標、または半径の曲率であると述べました。 M は点 M の関数です。同時に、ニュートンは、時間と呼ばれる変数に応じて量が流暢であることについて話しました（同時に、時間によって果たされる役割は別の量によって果たされる可能性があることを指定しました）。 fという形式の表記法は、すぐには定着しませんでした。ジャン・ベルヌーイはX をxの関数と呼ぶことを提案し、ライプニッツはいくつかの異なる関数を扱えるようにする表記法を発明しました。
同時に、時間厳守の通信を応用するという概念が幾何学の分野で発展しています。
1950年代、ブルバキ学派は次のように語ることで2つの概念を一致させようとした。
- 関係グラフまたは関数グラフ: ( E , F , G ) ここで、 EとFは 2 つの空でない集合であり、 GはE x Fの空でない部分集合であり、すべてのペア ( x , y ) と ( x )についてさらに検証します。 ‘, y ‘) のG 、 x = x ‘ の場合、 y = y ‘。 (つまり、 Eの各要素には最大でも 1 つの画像があります);
- Eのすべての要素が 1 つのイメージを持つ関数グラフのアプリケーション。
この意見に基づいて、1970 年代の現代数学は 2 つの異なるオブジェクトを区別しました。
- 関数: 開始集合E 、到着集合F 、およびEの各要素が最大 1 つのイメージを持つEからFへの関係によって定義されます。画像を持つEの要素の集合は、関数の定義領域と呼ばれます。
- アプリケーション: 開始セットE 、到着セットF 、およびEの各要素が 1 つのイメージと 1 つのみのイメージを持つEからFへの関係によって定義されます。
実際には、関数の開始セットをその定義セットに還元してアプリケーションに変換するだけで十分であるという事実により、この区別はほとんど役に立ちません。これは数学コミュニティ全体で採用されたことはなく、数学コミュニティはこれら 2 つの用語を歴史的な意味で使用し続けており、関数という用語は、全体が到着する特定の場合にアプリケーションという用語の同義語として使用されています。
