リーマン幾何学の用語集 – 定義

導入

リーマン幾何学は、リーマン多様体の性質を研究する数学の分野です。このページでは、繰り返し出現する用語の定義を簡単にまとめます。

もっている

• 等角適用: 2 つのリーマン変種の間で、角度を保存する適用。同様に、メトリックを適合するメトリックに変換するアプリケーション。
• 指数関数的な適用: 微分可能な適用
  $$ {TM\rightarrow M} $$
  任意の完全リーマン多様体に対して自然に定義され、 e x p ( t v )が時間0 での速度がvである測地線であるという事実によって特徴付けられます。

C

• 重心
• 接触円
• ジャコビ・フィールド
• キリング・フィールド
• チャーンクラス
• 凸面性
• 二等分曲率
• ガウス曲率
• 負の曲率
• リッチ曲率
• 断面曲率
• グループの成長
• リーマン多様体の点mのカット軌跡: 最小化測地線の一意性がない点nの集合(無視できる)。

F

• リーマン葉面化: リーマン多様体への多様体の葉面化。
• 法線バンドル: リーマン多様体Mの部分多様体Nの場合、 N上のベクトル バンドルはxにおけるファイバーであり、 T _x Nに直交します。
• リーマン バンドル: リーマン計量を持つベクトル バンドル。
• 測地線流: 測地線の力学によって定義される、リーマン多様体の接線または余接空間、または対応する球束上の微分可能な流れ。
• ブーゼマン関数: コンパクト化に関与する有界負の曲率を持つ空間 (リーマン多様体または計量空間) 上で定義される連続関数。ブーズマン関数は無限遠で球を形成します。
• 調和形式: ラプラシアンが 0 である微分形式。
• ケーラー形式:
• Selbergトレースの公式:

E

• アダマール空間: リーマン多様体、または厳密に負の曲率を持つ単純に接続された計量空間。
• 均質空間:リー群が推移的に作用する多様性。
• 対称空間:すべての点で少なくとも 1 つの畳み込みを許容するリーマン多様体。

H

• ホロノミー
• ホロスフィア

G

• 測地線: リーマン多様体上の距離を局所的に最小化する曲線。
• 閉じた測地線: 周期測地線。
• ユークリッド幾何学: ユークリッド空間の幾何学。
• リーマン幾何学: リーマン多様体の幾何学。
• 双曲線群

L

• ラプラシアン: 任意のリーマン多様体で定義された微分演算子。

私

• ビアンキのアイデンティティ: レヴィとチヴィタの接続部分の曲率に関する注目すべきアイデンティティ。
• ビショップ・グロモフ不等式: リッチ曲率の推定後のリーマン多様体のボールの体積の推定。
• 等周不等式: 超曲面の体積の関数として、超曲面で囲まれたリーマン体積の増加を与える不等式。
• インボリューション: 点を固定し、この点での微分が -Id であるリーマン多様体のアイソメトリ。
• アイソメトリ: 2 つのリーマン多様体の間で、リーマン計量上のリーマン計量を送信する微分可能なアプリケーション。または同様に、関連する距離を維持する継続的な適用。