導入
数学では、3 つの同型定理により、群理論の枠組み内での同型の存在が示されています。
これら 3 つの同型定理は、群以外の構造にも一般化できます。特に「普遍代数」を参照してください。
第一同型定理
最初の同型定理は、群の射が与えられると次のように述べています。
$$ {f:G\to G’} $$
、そのカーネルによって商
Gによって
f を単射的にすることができます。
直観的には、グループG をサブグループHで商うことは、 Hの要素を「キャンセル」することになります。したがって、 fのカーネルで商することにより、 f ( x ) = 1がx = 1に対してのみ真であることが保証され、これはfの単射性と同等です。
群射について話せるようになる
$$ {G/\operatorname{Ker} f\to G’} $$
、まず商がグループ構造であることを確認する必要があります。
命題— GとG ‘ を2 つのグループとし、
$$ {f:G\rightarrow G’} $$
群の射。それで
$$ {\operatorname{Ker} f} $$
は
Gの正規部分群です。
注意しましょう
$$ {\cdot} $$
Gと
G ‘の法則、および
eと
e ‘の中立要素、そして次のことを検証します。
$$ {\operatorname{Ker} f} $$
共役により安定です。つまり、
$$ {x\cdot h\cdot x^{-1}\in\operatorname{Ker} f} $$
すべてのために
$$ {x\in G} $$
そしてすべて
$$ {h\in\operatorname{Ker} f} $$
。
我々は持っています
$$ {f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})} $$
。
hが入っているので
$$ {\operatorname{Ker} f} $$
つまり、
f ( h ) = e ‘であると推測されます。
$$ {f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(x^{-1}) = f(x\cdot x^{-1}) = f(e) = e’} $$
。それで、
$$ { x\cdot h\cdot x^{-1}} $$
いる
$$ {\operatorname{Ker} f} $$
そして
$$ {\operatorname{Ker} f} $$
したがって、 は
Gの正規部分群です。
という事実
$$ {\operatorname{Ker} f} $$
Gの正規部分群を使用すると、商群で定義できるようになります。
$$ {G / \operatorname{Ker} f} $$
Gの群法則と互換性のある群法則。この互換性のおかげで、群の射は
$$ {f : G \rightarrow G’} $$
射を誘起する
$$ {\widehat f : G / \operatorname{Ker} f \rightarrow \operatorname{Im} f} $$
。
これで定理を述べることができます。
第一同型定理— GとG ‘ を2 つの群とし、
$$ {f:G \rightarrow G’} $$
群の射。次に、
f は次の同型写像を引き起こします。
$$ {G/\operatorname{Ker} f} $$
f ( G )に向かって。
H がfのカーネルを表すものとします。私たちは定義します
$$ {\hat f} $$
ポーズをとることで
$$ {\widehat f(xH) = f(x)} $$
。
- 機能
$$ {\widehat f} $$
は明確に定義されています。つまり、 $$ {\widehat f(xH)} $$
はクラスx Hにのみ依存し、特定の代表xには依存しません。
確かに、もし
$$ {y\in G} $$
は
x Hのもう 1 つの代表です。つまり、
x H = y Hの場合、
$$ {xy^{-1}\in H=\operatorname{Ker} f} $$
したがって、
f ( x ) = f ( y ) 、したがって
$$ {\widehat f(xH)=\widehat f(yH)} $$
。
- 商群の法則の定義により、
$$ {\widehat f} $$
は群の射です。
- 変形
$$ {\widehat f} $$
全射的です:
すべてのために
$$ {y\in f(G)} $$
、存在します
$$ {x\in G} $$
f ( x ) = yのようになります。しかしその後
$$ {\widehat f(xH)=f(x)=y} $$
。
- 変形
$$ {\widehat f} $$
は単射です。
実際、 x H をその核の要素とします。それで
$$ {e’=\widehat f(xH)=f(x)} $$
つまり、
x はfのカーネル
H内にあります。しかし、
x H = Hとなり、これは
G / Hの中性要素になります。
前の定理の別の可能な定式化は、射f が正準全射と射出によって因数分解されることです。つまり、次の図は可換です。
射の因数分解
第 3 同型定理
第三の同型定理— G を群、 NとM をGの 2 つの正規部分群とする。この場合、 N / M はG / Mの正規部分群となり、次の同型性が得られます。
$$ {(G/M)/(N/M)\simeq G/N.} $$
第二同型定理
第 2 同型定理— Gを群、 N をGの正規部分群、 H をGの部分群とする。それで
$$ {N \cap H} $$
は
Hの正規部分群であり、次の同型性があります。
$$ {H/(H\cap N)\simeq HN/N.} $$
- 群H N / Nについて話せるようにするには、まずH N が群であり、 N が正規部分群であることを示さなければなりません。
h nとh ‘ n ‘ をH Nの 2 つの要素とします。 h n h ‘ n ‘ = h h ‘( h ‘ − 1 n h ‘) n ‘となります。
$$ {hh’\in H} $$
、
$$ {h’^{-1}nh’\in N} $$
(
N はGでは正規なので) そして
$$ {n’\in N} $$
したがって、
h n h ‘ n ‘ はH N内にあり、これは
H N が乗算下で安定であることを示しています。
一方で、グループが含まれています。
$$ {N\subset HN\subset G} $$
、
N はGで正常であるため、
HNでも正常です。
- 同型性を確立するために、最初の同型性定理を使用します。
射射射がある
$$ {j:H\hookrightarrow HN} $$
j ( h ) = hおよび正準全射によって定義されます。
$$ {\sigma:HN\twoheadrightarrow HN/N} $$
(
Gでは
Nが正規なので、最後の集合はグループです)。これら 2 つの射を合成すると、新しい射が得られます。
$$ {f=\sigma\circ j:H\to HN/N} $$
f ( h ) = hNによって定義されます。
確かに、どちらか
$$ {(hn)N\in HN/N} $$
、 と
$$ {h\in H} $$
そして
$$ {n\in N} $$
。
n はNにあるため、
hnN = hN 、したがってhnN = f ( h ) となります。
確かに、 f ( h ) = hN は、 h がNにある場合に限り、 HN / Nの中性要素Nです。 h はすでにHにあるため、これはhが H にあることを意味します。
$$ {N\cap H} $$
。
