導入
1956 年に René Thom によって導入され、1967 年に JM Boardman によって一般化されたThom-Boardman Σクラスは、微分可能なアプリケーションの特異点を研究するためのツールです。
$$ {f: M \rightarrow N} $$
。これらにより、
f (の接線マップ) のカーネルの次元とその制限の一部に従って特異点を区別することが可能になります。これらは、
幾何光学におけるコースティクスの計算に重要な用途を持っています。
クラス ΣI(f) (Thom、1956)
(無限に) 微分可能なアプリケーションが与えられた場合
$$ {f: M^m\rightarrow N^n} $$
、すべての点で定義します
$$ {x\in M} $$
fのランク
rはタンジェント マップ
T f xのランクです。また、ソースのコランを
m − rとして定義し、ゴールのコランを
n − rとして定義します。ソースのコランは、
T f x :
i = m − rのカーネルの次元
iでもあります。
ワンポイント
$$ {x\in M} $$
ランクが可能な最大値
r = min( m , n )を取る場合、
は正規であると言われます。それ以外の場合は、
特異的または
臨界的であると言われます。特異点の
セットはΣ( f )で表されます。
Thom-Boardman クラスはΣ( f )の構造を記述します。
$$ {x\in M} $$
T f xのカーネルが次元
iである場合、 はクラス
Σ iであると言われます。クラス
Σ iの点の集合を
Σ i ( f )で表します。
一般的なケースは、任意の整数族に対して設定によって帰納的に定義されます。
$$ {I=(i_1,i_2,\cdots,i_n)} $$
:
$$ { \Sigma^{i_1,…,i_{n-1},i_n}(f)=\Sigma^{i_n}(f \vert_{\Sigma^{i_1,\cdots,i_{n-1}}(f) })} $$
。インクルージョンがあります
$$ {M \supset \Sigma^{i_1} \supset \Sigma^{i_1,i_2} \supset \Sigma^{i_1,i_2,i_3 } \supset \cdots} $$
。
幾何光学への応用
幾何光学のコースティクスは、特異点として、より正確にはラグランジュ特異点として数学的にモデル化されます。ラグランジュ特異点の理論は、私たちの物理空間には 5 つの一般的なタイプの苛性点があることを示しています: 折り目A 2 、ギャザーA 3 、ダブテールA 4 、双曲へそ
$$ {D_4^+} $$
そして楕円形のおへそ
$$ {D_4^-} $$
。
微分可能なアプリケーションの特異点との関連性は、次の記述から得られます。光線の集合 (または合同) を考えてみましょう。各光線は、２つのパラメータｘ １ 、 ｘ ２によって定義され、これらは、例えば、光線が発する波面Ｗの点Ｑの座標である。光線系のすべての点P を記述するために、座標x 1とx 2に光線に沿った 3 番目の座標x 3を追加します。たとえば、光線( x 1 , x 2 )に沿って測定された距離Q Pです。したがって、半径に沿った座標 (距離) x 3に位置する物理空間の点( y 1 , y 2 , y 3 )の三重項( x 1 , x 2 , x 3 )に対応するマップfを定義します。 ( x 1 、 x 2 ) 。光線が「互いに交差する」ということは、 fが単射的ではないことを意味します。 fの非全射性はグレー領域の存在を表します。光線システムのコースティクスKはfの特異集合Σ 、より正確には物理空間におけるそのイメージです: K = f (Σ) 。
微分可能なアプリケーションfによる光線のこのモデリングは、コースティクスが褶曲面A 2 = Σ 1 ( f ) 、ギャザーラインA 3 = Σ 1.1 ( f ) 、および尾点 d’round で構成されていることを説明します。 A 4 = Σ 1,1,1 ( f ) 。しかし、それはへその存在を説明するものではありません。
$$ {\{D_4^+,D_4^-\}=\Sigma^{2}(f)} $$
一般理論では、これは共次元 4 です。
Thom-Boardman クラスによる苛性点の特性評価により、ほとんどのアプリケーションで効果的な計算が可能になります。
ΣI(f)の計算例
通常ポイント
機能させましょう
$$ {f: R \rightarrow R} $$
、
f ( x )= x 。その
導関数は決してゼロにはなりません。関数
f には正則点のみがあります:
Σ 0 ( f ) = R。折り目
機能させましょう
$$ {f: R \rightarrow R} $$
、
f ( x )= x2 。その導関数は
2 xです。したがって、私たちは
$$ {\Sigma^0(f)=R\backslash \{0\}} $$
および
Σ 1 ( f ) = {0} 。単一の臨界点は
フォールドと呼ばれます。
しかめっ面
どちらかのアプリケーション
$$ {f: R^2 \rightarrow R^2} $$
、
$$ {f(x_1,x_2)=(y_1,y_2)=(x_1^3+x_1 x_2,x_2)} $$
。ヤコビアン行列式を計算します
$$ {J(x_1,x_2)=\det \partial (y_1,y_2)/\partial (x_1,x_2)} $$
。私たちは見つけます
$$ {J(x_1,x_2)=3x_1^2 +x_2} $$
。次に、
Σ 1 ( f ) は、 J ( x 1 , x 2 ) = 0 と書くことによって取得されます。
$$ {x_2=-3x_1^2} $$
。それはたとえ話です。
Σ1.1 ( f )を求めるには、
fの制約
g をΣ1 ( f )に書き込む必要があります。等価性の使用
$$ {x_2=-3x_1^2} $$
、私たちは見つけます
$$ {g: R \rightarrow R^2} $$
、
$$ {g(x_1)=(-2x_1^3,-3x_1^2)} $$
。派生関数
$$ {g'(x_1)=(-6x_1^2,-6x_1)} $$
原点でのみキャンセルされます。したがって、
Σ 1.1 ( f ) = (0.0)となります。元の
特異点はfranceと呼ばれます。
ダブテール
どちらかのアプリケーション
$$ {f: R^3 \rightarrow R^3} $$
、
$$ {f(x_1,x_2,x_3)=(y_1,y_2,y_3)=(x_1^4+x_1^2 x_2 +x_1 x_3,x_2,x_3)} $$
。ヤコビアンの決定子
$$ {J(x_1,x_2,x_3)=\det \partial (y_1,y_2,y_3)/\partial (x_1,x_2,x_3)} $$
書かれています
$$ {J(x_1,x_2,x_3)=4 x_1^3 + 2 x_1 x_2 +x_3} $$
。次に、
Σ 1 ( f ) は、 J ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 と書くことによって取得されます。
$$ {x_3=-4x_1^3-2x_1 x_2} $$
。
R 3の正曲面です。
Σ1.1 ( f )を求めるには、
fの制約
g をΣ1 ( f )に書き込む必要があります。等価性の使用
$$ {x_3=-4x_1^3-2x_1 x_2} $$
、私たちは見つけます
$$ {g: R^2 \rightarrow R^3} $$
、
$$ {g(x_1,x_2)=(-3x_1^4-x_1^2 x_2,x_2,-4x_1^3-2x_1 x_2)} $$
。導出された行列を計算します
$$ {g'(x_1,x_2)= \partial (y_1,y_2,y_3)/\partial (x_1,x_2)} $$
。
Σ 1.1 ( f ) を特徴付ける条件は、次数 2 の 3 つのマイナーをキャンセルすることによって得られます。
$$ {x_2=-6x_1^2} $$
。したがって、
Σ 1.1 ( f )は
R 3の正規
曲線であり、
次の方程式が成り立ちます。
$$ {x_2=-6x_1^2} $$
、
$$ {x_3=8x_1^3} $$
。この方程式を使用すると、
fの制限
h をΣ 1.1 ( f )に書くことができます。
$$ {h(x_1)=(3x_1^4,-6x_1^2,8x_1^3)} $$
。次に、
h ‘( x 1 )がゼロ、つまり
x 1 = 0であると書くことで、
Σ 1,1,1 ( f )が得られます。原点の特異点は
ダブテールと呼ばれます。
おへそ
どちらかのアプリケーション
$$ {f: R^4 \rightarrow R^4} $$
、
$$ {f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(y_1,y_2,y_3,y_4)= (x_1,x_2,x_3^2\pm x_4^2 +x_1 x_3 + x_2 x_4, x_3 x_4)} $$
。以前のように
Σ 1 ( f )と
Σ 1.1 ( f )を計算します。
Σ 2 ( f ) を見つけるために、ヤコビ行列を計算します。
$$ {\partial (y_1,y_2,y_3,y_4)/\partial (x_1,x_2,x_3,x_4)} $$
。最初の 2 つの列ベクトルが
$$ {\partial y_i/\partial x_1} $$
そして
$$ {\partial y_i/\partial x_2} $$
ベクトル平面を形成します。したがって、他の 2 つの列ベクトルがこの平面に含まれ、次数 3 のマイナー行列式が 8 回キャンセルされると書きます。最終的に
Σ 2 ( f ) = (0,0,0,0)が見つかります。原点の特異点は臍と呼ばれます。
+記号の場合は
双曲状臍、
–記号の場合は
楕円状臍です。双曲状および楕円状のへそは、同じ Thom-Boardman クラス
Σ2 ( f )に属します。
ホイットニー・ケイリーの傘
どちらかのアプリケーション
$$ {f: R^2 \rightarrow R^3} $$
、
$$ {f(x_1,x_2)=(y_1,y_2,y_3)=(x_1,x_1x_2,x_2^2)} $$
。ヤコビ行列を計算します。
$$ {\dfrac{\partial (y_1,y_2,y_3)}{\partial (x_1,x_2)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x_2 & x_1 \\ 0 & 2 x_2 \end{pmatrix} } $$
。
Σ 1 ( f ) は、次数 2 の 3 つのマイナーをキャンセルすることによって取得されます。つまり、 x 1 = 0 、 2 x 2 = 0 、
$$ {2x_2^2=0} $$
。したがって、
Σ 1 ( f ) = (0,0)となります。元の特異点は
ホイットニー・ケイリー傘と呼ばれます。
