部族 (数学)について詳しく解説

導入

数学では、トライブまたはσ-代数(シグマ代数と読みます)、またはまれに、集合X上のボレル体は、の部分の空でない集合です。部族により、測定可能な全体の概念を厳密に定義することが可能になります。

20^世紀の最初の 3 分の 1 の間に徐々に形式化された部族は、測定理論が発展する枠組みを構成しました。最も有名な例は、1898 年に真の権利のボレリア部族を構築したエミール ボレルにちなんで名付けられたボレリア部族と、1901 年にアンリ ルベーグによって定義された可測集合から形成されたルベーグ部族です。したがって、部族は社会においても基本的なものです。 確率理論。現代の公理化は測定理論に基づいています。この分野では、部族は形式主義をサポートするだけでなく、条件付き期待値、マーチンゲールなどの最も重要な概念の定義の基礎となる強力なツールでもあります。

意味

少数のソースでは、 Xが空ではないことも必要です。この追加の仮定は、この記事のどこにも使用されていません。

正式には:

1. $$ {\mathcal{A} \not=\varnothing} $$
2. $$ { \forall A \in \mathcal{A} , } $$
   $$ {{}^c A \in\mathcal{A} } $$
   (ここで、 ^c A はX内のAの補数を示します)。
3. もし
   $$ { \forall n \in \mathbb{N}, A_n \in\mathcal{A} } $$
   それで
   $$ { \bigcup_{n\in\mathbb{N} } A_n \in\mathcal{A} } $$
   (すべてのインデックスが可算であるため、結合は「可算」と呼ばれます)。

前述の定義には、ブール代数の言語を知らなくても読みやすいという利点があります。それがわかっていれば、より厳密な形で表現できます。

カップル

Xの部族に属する部分

いくつかの例

• いわゆるtrivial trivial (個別とも呼ばれます):
  $$ { \mathcal A = \mathcal P(X)} $$
  または
  $$ { \mathcal P(X)} $$
  は Xのすべての部分の集合を表します。

• いわゆる失礼な部族：
  $$ { \mathcal A = \{ \varnothing,X\} } $$
  。

• X = { a , b , c , d }の場合、
  $$ { \mathcal A=\{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, X\}} $$
  Xの部族です。これは、集合{ a }を含む最小の部族です。

• 全員にとって
  $$ {\{ A \in \mathcal P(X)\,\mid\, A} $$
  または
  $$ { {}^c A \,} $$
  有限または可算
  $$ { \} \,} $$
  Xの部族です。

• 一方、 Xが無限大の場合、
  $$ {\{ A \in \mathcal P(X)\,\mid\, A} $$
  または
  $$ { {}^c A \,} $$
  終了した
  $$ { \} \,} $$
  はX上の部族ではありませんが、 Xの一部のブール代数です。

基本的な性質

• トライブは有限結合によって安定します (定義のポイント3 を可算無限シーケンスに適用します)
  $$ {(A_0,A_1,\ldots,A_n,\ldots,A_n,A_n,\ldots)} $$
  n個のセットで構成され、最後のセットは無限に繰り返されます)。

• $$ { X\in \mathcal A} $$
  (アイテムを取る
  $$ {A\in\mathcal A} $$
  そして書きます
  $$ {X=A\cup{}^c A} $$
  ）。

• $$ { \varnothing \in \mathcal A} $$
  (
  $$ { \varnothing} $$
  の補数です

• トライブは可算交差演算 (定義のポイント 2 と 3 による) に対しても安定しており、フォルティオリは有限交差の下でも安定です。
  もし
  $$ { \forall n \in \mathbb{N}, A_n \in \mathcal A } $$
  それで
  $$ { \bigcap_{n\in\mathbb{N} } A_n \in \mathcal A } $$
  。

• もし
  $$ {\left(\mathcal A_i\right)_{i\in I}} $$
  はX上の部族の家族である場合、
  $$ {\bigcap_i \mathcal A_i} $$
  Xの部族でもあります。

• 次の基準は、パーツのセットがトライブであることを証明する場合に役立つことがあります。

これは、次の要素のシーケンスについて次のことに注意することで簡単に証明されます。

他の情報源は、この命題の変形を提供しており、可算アセンブリを増やすことによって 3 番目の状態の安定性を示しています。記事「単調クラスの補題」で定義された語彙に精通している場合、このステートメントは次のように言えます。π 系でもある任意の λ 系は σ 代数です。