数学では、オイラー マスケローニ定数は、主に数論で使用される数学的定数であり、調和級数と自然対数の差の限界として定義されます。
意味
オイラー・マスケローニ定数γは次のように定義されます。
- $$ {\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + … + \frac{1}{n} – \ln(n) \right)} $$、
または、圧縮された形式で:
- $$ {\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^{n} \frac {1}{k} – \ln(n) \right)} $$。
調和系列は、一般的な用語シーケンスln( n )と同様に発散します。この定数の存在は、2 つの式が漸近的に関連していることを示します。
プロパティ
一般的なプロパティ
オイラー・マスケローニ定数が有理数であるかどうかはまだ不明です。ただし、定数の連分数分析により、定数が有理数であれば、分母の 10 進数が 10 242080桁を超えることがわかります。
その他の文言
定数は、(オイラーによって導入されたように) 級数の明示的な形式で定義できます。
- $$ {\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} – \log \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right].} $$
これはいくつかの積分によっても与えられます。
- $$ {\gamma = \int_1^\infty\left({1\over E(x)}-{1\over x}\right)\,dx} $$( Eは整数部分の関数)
- $$ {= – \int_0^\infty { e^{-x} \log x }\,dx} $$
- $$ {= – \int_0^1 { \log\log\left(\frac{1}{x}\right) }\,dx} $$
- $$ {= \int_0^\infty {\left(\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right)e^{-x} }\,dx} $$
- $$ {= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right) }\,dx} $$。
γ を含む他の積分は次のとおりです。
- $$ {\int_0^\infty { e^{-x^2} \log(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}} $$
- $$ {\int_0^\infty { e^{-x} (\log(x))^2 }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}} $$。
γ を二重積分の形で表すことができます (ここでは等価級数を使用します)。
- $$ {\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n}-\log \left( \frac{n+1}{n} \right) \right)} $$。
さらに ：
- $$ {\log \left( \frac{4}{\pi} \right) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\log \left( \frac{n+1}{n} \right) \right)} $$。
2 つの定数は、2 つの系列によってもリンクされています。
- $$ {\gamma = \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)}} $$
- $$ {\log \left( \frac{4}{\pi} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) – N_0(n)}{2n(2n+1)}} $$
ここで、 N 1 ( n )とN 0 ( n )は、 n を基数 2 で表すときの 1 と 0 の数です。
オイラー定数のその他の非古典的表現については、「二次測定」の記事を参照してください。
特定の機能との関係
オイラー・マスケローニ定数には、他の特定の関数とのリンクがあります。
- ガンマ関数:
- $$ {\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\,dt = {1 \over {ze^{\gamma z} \displaystyle{\prod_{n=1}^\infty (1+z/n)e^{-z/n}}}}} $$
- 積分指数関数:
- $$ {E_1(z) = \int_z^\infty {e^{-t} \over t}\,dt = \int_1^\infty {e{-zt} \over t}\,dt = e^{-z}\int_0^\infty {e^{-zt} \over {1+t}}\,dt} $$
- $$ {= {e^{-z} \over z} \int_0^\infty {e{-t} \over {1+t/z}}\,dt = – lnz – \gamma + \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}z^n \over n.n!}} $$
- サイ関数:
- $$ {\Psi(z) = {\Gamma'(z) \over \Gamma(z)} = – \gamma – {1 \over z} + \sum_{n=1}^\infty {1 \over n} – {1 \over n+z}} $$
- 特に、 $$ {\Psi(1) = \Gamma'(1) = – \gamma \,} $$そして$$ {\sum_{k=1}^n {1 \over k}= \Psi(n+1) + \gamma} $$
一般化
次の定数を定義することで、主題を一般化することができます。
- $$ {\gamma (m) = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{(\ln k)^m}{k} – \frac{(\ln n)^{m+1}}{m+1} \right)} $$。
γ(0) = γ 、オイラー定数であることがわかります。
概算値
オイラー・マスケローニ定数の小数点以下の最初の 100 桁は次のとおりです。
- $$ {\gamma\,} $$≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 5
γの数値計算
γの数値計算は、丸め誤差の伝播の問題を認識するための簡単な教育方法です。単純な精度では、100,000 ポイントの場合、自然順序で合計すると、小数点第 4 位で誤差が得られますが、この合計を逆の順序 (最小値から最大値へ) で行うか、または Kahan のアルゴリズムを使用すると、誤差ははるかに小さくなります。 (「合計 (アルゴリズム)」を参照)。 1,000,000 ポイントの場合、発散は自然方向では小数点第 2 位に達し、逆方向では小数点第 4 位に達します。一方、Kahan の方法では、小数点以下 6 桁まで正確に到達しました。