極値について詳しく解説

「極値要素」という表現は、「最大要素」または「最小要素」を意味する。

順序付きセットでは、このセットの一部の最大要素(それぞれ最小要素) または最大要素(それぞれ最小要素) は、存在する場合、この部分に属し、上位 (それぞれ下位) の要素です。パーツの他のすべての要素に適用されます。

プロパティ

したがって、部品の最大 (最小) 要素は特に次のようになります。

1. 部品の最大要素 (それぞれ最小要素)
2. 部品の上限(それぞれ下限)
3. パーツの上限(それぞれ下限)

…しかし、逆数は偽です。それにもかかわらず、次の定理を述べることができます。

• 部品が最大要素 (または最小要素) を許容する場合、最大 (または最小) 要素は 1 つだけ存在し、それが部品の最大要素 (または最小要素) になります。
• 部品がこの部品に属する上限 (または下限) を許容する場合、その部品は正確にこの上限 (または下限) であるより大きい要素 (またはより小さい要素) を許容します。

例

• 包含関係によって順序付けされた実区間の集合を順序集合Eとします。
• 学習する部分Pとして、以下に含まれる一連の間隔を選択しましょう。
  $$ {[-1; 0 [\cup]0 ; 1]} $$
  。
• Pのすべての要素には空の集合が含まれるため、空の集合はPの下限になります。ここで、空集合はPの要素であるため、その下限および最小要素でもあります。
• Pのすべての要素は区間[-1; 1]これはEの要素ですが、 Pの要素ではありません。したがって[-1; 1]はPの上限ですが、その最大の要素ではありません。すべてにもかかわらず、それは最小限界であり、したがって上限です。
• ]0 より大きいPの要素は存在しません。 1] 。 ]0;したがって、 1] はPの最大要素です。しかし、 Pにはそれに匹敵しない要素があります。たとえば、 [1/2; 3/2] 。したがって、 ]0; 1] はPの最大の要素ではありません。そして正当な理由から、別の明確な最大要素があります: [-1; 0[ 、つまりPには最大の要素がありません。
  

関数の極値

( F , ≤)を全順序集合とし、 f​​ を集合Eから集合Fまでの関数とします。

fの定義セットであるD を表し、 a をDの任意の要素とします。

AがDの一部またはD自体である場合、表記f( A ) は関数fによるAのイメージを指定することを思い出してください。

関数の大域的極値

「 fのグローバル極値」とは、「 fのグローバル最大値」または「 fのグローバル最小値」です。

グローバル最大値

f(a) がfの「最大値」または「全体最大値」であると言うのは、 Dの要素xについてf(x) ≤ f(a)である場合に限ります。

これは、 f(a)がf( D )の最大の要素であると言うのと同じです。

全体的な最小値

Dの任意の要素xについてf(a) ≤ f(x)が成立する場合に限り、 f(a)がfの「最小値」または「大域最小値」であると言います。

これは、 f(a)がf( D )の最小要素であると言うのと同じです。

関数の極値

局所極値の概念は、 D上で位相構造が定義されていると仮定します (形容詞localに正確な意味を与えます)。したがって、「 D上のfの極値」は、「 D上のfの極大値」または「 D上のfの極小値」になります。

極大値

D を位相空間とします。 Dの点aが与えられたとき、 Vの任意の要素xについてf(a) ≥ f(x)が成立するようなaの近傍V が存在する場合、 f はaで極大値に達すると言います。
次に、 f(a) はD上のfの「極大値」であると言います。

極小値

D を位相空間とする。 Dの点aが与えられたとき、 Vの任意の要素xについてf(a) ≤ f(x)となるようなaの近傍V が存在する場合、 f はaで極小値に達すると言います。
次に、 f(a) はD上のfの「局所最小値」であると言います。

関数の極値を見つけるための通常の方法

関数の極値の概念は、到着集合Fが完全順序集合である場合の分析において特に興味深いものです。

ここでは、1 つ以上の実変数の実数値関数に限定して、いくつかの重要なメソッドを引用します。

実変数の実関数の場合

または関数

• 大域的極値の存在 (境界定理):

I が閉じた有界であり、 fが連続である場合、 f はIに対して大域的最大値と大域的最小値を認めます。

• 局所極値の必要条件:

f がIの内部の点で極値に達し、この点で微分可能である場合、

$$ {\ f\,'(a) = 0} $$

。

• 局所極値の十分条件:

fがI上で微分可能であり、 a がfの導関数が符号の変更によって消えるIにおける内点である場合、 f はaで局所極値に達します。より正確に仮定すると、

$$ {\ f\,'(a) = 0} $$

:

次のような厳密に正の実数αが存在する場合、

$$ {[a-\alpha,\, a + \alpha] \subset I} $$

そして

$$ {f\,’ \geq 0} $$

の上

$$ {[a-\alpha,\, a]} $$

、

$$ {f\,’ \leq 0} $$

の上

$$ {[a,\, a + \alpha]} $$

、

次に、 f はaで極大値に達します。

次のような厳密に正の実数αが存在する場合、

$$ {[a-\alpha,\, a + \alpha] \subset I} $$

そして

$$ {f\,’ \leq 0} $$

の上

$$ {[a-\alpha,\, a]} $$

、

$$ {f\,’ \geq 0} $$

の上

$$ {[a,\, a + \alpha]} $$

、

この場合、 f はaで極小値に達します。

気づいた

局所極値の必要条件は、間隔の制限には適用されません。たとえば、関数

$$ {f : [0, 1] \to\R,\, x \mapsto x} $$

は、0 と 1 に達する 2 つのグローバル極値 (フォーティオリ ローカル) を認めます。さらに、微分可能であり、その導関数はいかなる点でも相殺されません。

複数の実変数の実関数の場合

または関数

• 大域的極値の存在 (境界定理):

Aが閉じた有界であり、 fが連続である場合、 f はAに対して大域的最大値と大域的最小値を認めます。

• 局所極値の必要条件:

ここでは、 Aがオープンであり、 fがA上のクラスC ¹であると仮定します。

f がAの点aで極値に達すると、次のようになります。

$$ {\nabla f(a) = 0} $$

: この点でのfの勾配はゼロです。

注意:定義により、 aにおけるfの勾配は次のベクトルです。

$$ {\R^n} $$

:

$$ {\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\, \dots,\, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)} $$

。

• 局所極値の十分条件:

ここでは、 Aがオープンであり、 f がAのクラスC ²であると仮定します。

Aの点aを考えます。 fからaまでのヘッセ行列 (行列) は次のように表されます。

$$ {\nabla^2 f(a)} $$

;それは本当に対称です。

もし

$$ {\nabla f(a) = 0} $$

そしてもし

$$ {\nabla^2 f(a)} $$

が負定値の場合、 f はaで極大値に達します。

もし

$$ {\nabla f(a) = 0} $$

そしてもし

$$ {\nabla^2 f(a)} $$

が正定値の場合、 f はaで極小値に達します。

注意: 定義により、 aにおけるfのヘッセ行列は次数nの正方行列です。

$$ {\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a)} $$

行i 、列jの要素の場合。

f はクラスC ²であるため、2 次の偏導関数に関するシュワルツの定理から、ヘッセ行列は対称であることがわかります。

2つの機能の最適な機能

2 つの関数の最小関数と最大関数は、絶対値を使用して定義できます。