スパイラルは、曲率が曲線の横座標に比例する平面超越曲線です。
それは、それを発明したフランスの物理学者アルフレッド・コルニュにちなんで、コルヌ螺旋とも呼ばれます。さらにまれに、アーク ラジオイド、オイラースパイラル、またはフレネル スパイラルという名前で現れることもあります。
語源
クロソイドという言葉は、ギリシャ語のklothein (羊毛を紡ぐ) に由来しており、その曲線の形状は織機に巻き付く糸の形状を思い出させます。人間の運命の糸を握る三つの運命の名前にも、同じ根が現れています。
数学的定義
曲線は次の方程式によってパラメトリックに定義できます。
- $$ {\left\{\begin{matrix} x(t)=k\int_0^t \sin u^2\,du \\ y(t)=k\int_0^t \cos u^2\,du \end{matrix}\right.} $$
フレネル積分が計算に関与していることがわかります。
これは、固有の方程式によって定義することもできます。
- $$ {2R_c.s=k^2\,} $$ここで、 R c は曲率半径を表し、 s は曲線の横座標を表します。
特性と用途
運動学では、スパイラルの基本的な性質は、「一定の速度で移動し、その曲率が直線的に変化するような軌道」と訳されます。したがって、この曲線に沿って連続的に循環する観察者が経験する遠心力は連続的に変化します。
具体的には、車が安定した速度で走行し、徐々にハンドルを切られていく軌跡を表します。したがって、これは最も「快適な」軌道であり、高速道路のレイアウトに採用されています。実際には、この曲線は、直線の位置合わせと円弧の段階的な接続を確実にするためにのみ使用されます。詳細については、道路の配置に関する記事を参照してください。
この形状は、線路を一定速度で走行する車両が一定の角加速度を受けるため、線路のカーブにも適しており、レールにかかる力と車内の乗客の不快感の両方が軽減されます。
最後に、ケーブルカーのパイロンに取り付けられ、ケーブルを支えるシューもこの形状を採用しています。実際、乗客に迷惑をかけることなく、パイロン上でキャビンを最高速度で運転することが可能です。
同様に、この曲線は乗客の快適性を高めるためにジェット コースターの垂直ループやループに使用され、垂直方向の加速度が連続的に感じられます。
一方、スパイラルを追跡すると、回折現象の際に生じる振動の計算に含まれる式の近似値を推定することができます。これが、物理学者のアルフレッド・コルヌがこの曲線を使用した理由です。しかし、現在の計算手段では、この用途には使用できなくなりました。
