導入
数学における群作用とは、空間の幾何学的変換群の代数的記述です。たとえば、回転群は次のように作用します。
意味
法則が乗法で示され、中立要素がeで示される群Gが与えられると、アプリケーションによって集合Eに対するGのアクション(または操作) を定義できます。
- $$ {G \times E \rightarrow E} $$
- $$ {(g,x) \mapsto g \cdot x} $$
次のプロパティを確認します。
- $$ {\forall x \in E,\ e \cdot x = x} $$
- $$ {\forall (g,g’) \in G^2,\ \forall x \in E,\ g’ \cdot (g \cdot x)= (g’g) \cdot x.} $$
この場合、 G は集合Eに作用する(または作用する) とも言えます。集合E がグループGの作用下で安定であることを検証することが重要です。
同等の観点は、アクションに関連付けられていると言われる群の射がある場合、群Gは集合E上で動作すると言うことから構成されます。
この射は、次のようなアクションに関連付けられています。
- $$ {g \cdot x = (\phi(g))(x)} $$
みんなのために
軌道、スタビライザー、固定点
要素の軌道
Eの要素xの軌道を次のように定義します。
- $$ { O_x = \left\{ g \cdot x ,\ g \in G \right\}. } $$
xの軌道は、 Gの作用下でxのイメージが占める可能性が高い ( E内の) 位置のセットです。 「 yがxの軌道上にある」という関係はE上の同値関係であり、同値類は軌道です。
特に、軌道はEの分割を形成します。
エレメントのスタビライザー
Eの要素xのスタビライザーは集合です
- $$ { G_x = St_x = \left\{ g \in G / g \cdot x = x \right\}} $$
アクションの下でx を不変のままにする要素。 Gのサブグループです。同じ軌道の 2 つの要素のスタビライザーは、次の式によって同型になります。
- $$ {St_{g\cdot x} = g St_x g^{-1}} $$
アプリ
- $$ { \left\{\begin{array}{ccc} G/St_x & \rightarrow & O_x\\ \bar{g} & \mapsto & g \cdot x \end{array}\right.} $$
は、 G / S t xのO xへの全単射です。
グループ要素の固定点
同様の方法で、要素によって固定された点の集合Fix g を定義できます。
例
- グループは、次の 2 つの基本的な方法でそれ自体を操作します。
- 左に翻訳すると、このアクションは自由かつ推移的です。
- $$ {G \times G \rightarrow G,\ (g,x) \mapsto gx} $$
- 内部自己同型性によって、アクションは活用によっても呼び出されます。
- $$ {G \times G \rightarrow G,\ (g,x) \mapsto gxg^{-1}} $$
- 集合Eの対称群は当然Eに作用し、この作用は忠実かつ推移的です。
- $$ {\mathfrak{S} (E) \times E \rightarrow E,\ (\sigma,x) \mapsto \sigma(x)} $$
- $$ {O(E) \times S \rightarrow S,\ (u,x) \mapsto u(x)} $$
- $$ {U(E) \times S \rightarrow S,\ (u,x) \mapsto u(x)} $$
- $$ {GL(E) \times \eth \rightarrow \eth,\ (f,(e_i)_{i\in I}) \mapsto (f(e_i))_{i\in I}} $$
- 射影群（または射影群） $$ {\mathbb{PGL(E)}} $$投影空間の$$ {\mathbb{P}(E)} $$全体的に動作します$$ {\mathcal{F}} $$その高調波ビームの:
- $$ {\mathbb{PGL}(E) \times \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F},\ (\phi,F) \mapsto \phi(F)} $$
- $$ {f_n \ : \ \mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{C}^*,\ x \mapsto x^n } $$
それからグループ
- $$ {\mathbb{Z} \times \mathbb{Q}^* \rightarrow \mathbb{Q}^*,\ (n,r) \mapsto f_n(r)} $$。このアクションは忠実ですが、推移的ではありません。
- 順列のグループは、次のように p 線形形式のセットに作用します。
- $$ {\begin{array}{ccl} \mathfrak{S}_p \times \mathcal{L}_p& \rightarrow & \mathcal{L}_p \\ (\sigma,\varphi) & \mapsto & \sigma\varphi : (x_1,\ldots,x_p) \mapsto \varphi(x_{\sigma 1},\ldots,x_{\sigma p})\end{array}} $$
クラス式、バーンサイド式
軌道とスタビライザーの概念により、グループ アクションは組み合わせ論における便利なツールとなります。一方、特定のグループの構造に関する多くの特性は、引数を数えることによって実証できます。
2 つのアイデンティティが頻繁に登場します。集合Eと群Gが有限である場合、クラス公式は、任意の軌道に対して次のように述べます。
- $$ { \mathrm{card}~O_x = \frac {\mathrm{card}~ G} {\mathrm{card}~ St_x}} $$
同じ軌道の 2 つの要素のスタビライザーは共役であるため、同じ基数を持つことに注意してください (したがって、上記の式のx を軌道の任意の要素に置き換えることができます)。
したがって、 Ωで軌道の集合を指定し、 c ωで軌道要素の安定化要素の共通基数ωを指定すると、次のように書くことができます。
- $$ { \mathrm{card}~E =\sum_{\omega \in \Omega} \mathrm{card}~\omega \ = {\mathrm{card}~G} \ \sum_{\omega \in\Omega}\frac {1} {c_\omega} } $$
この式は、セットの濃度をグループGの構造に関連付けます。
バーンサイドの公式は、(まだEとGが有限であるという仮説のもとに) 軌道の数は次のように述べています。
- $$ {\mathrm{card}~ \Omega = \frac1{\mathrm{card}~ G}\sum_{g\in G} \mathrm{card}~ \mathrm{Fix}_g} $$。
特に、 G が空でない集合Eに対して推移的に作用する有限群である場合、群Gの要素の不動点の数の平均は1に等しくなります。