導入
- メビウス変換をメビウス変換と混同しないでください。
メビウス変換は一般に、次の圧縮されたアレクサンドロフの自己同型です。
$$ {\mathbb{R}^n} $$
注記$$ {\hat{\mathbb{R}^n}} $$
、平面または球に関する有限数の反転の合成として定義されます。特に特定した場合、
$$ {\hat\mathbb{R}^2} $$
もっている$$ {\hat\mathbb C} $$
とすると、方向を保持するメビウス変換が次の形式であることが証明できます。 - $$ {M : z \rightarrow {az+b \over cz+d}} $$a 、 b 、 c 、 d の4 つの複合体では、$$ {ad – bc \neq 0} $$
次に、この関数を次のように拡張します。
$$ {\hat\mathbb C} $$
尋ねることによって： - $$ {M(- {d \over c}) = \infty} $$そして$$ {M(\infty) = {a \over c}} $$。
一般的な定義
どちらか
$$ {n\in\mathbb N} $$
、私たちは自分自身を$$ {\hat\mathbb R^n} $$
、次に、 の反転を定義します。 $$ {\hat\mathbb R^n} $$
平面または球を基準にして:- 超平面の場合 ( $$ {a\in \mathbb R^n, t\in \mathbb R} $$)、 σ P ( a , t ) で示されるP ( a , t ) に関する反転は、超平面P ( a , t )に関する反射であり、次の式を持ちます。
- $$ {\sigma_{P(a,t)}(x)=x-2((x\cdot a)-t)a/|a|^2} $$もし$$ {x\in \mathbb R ^n} $$
- $$ {\sigma_{P(a,t)}(\infty)=\infty} $$
- 球体の場合$$ {S(a,r)=\{x\in \mathbb R^n, |x-a|=r\}} $$($$ {a\in \mathbb R^n, r\in \mathbb R^+} $$) (、 S ( a , r )に関する反転はσ S ( a , r )で表されます。
- $$ {\sigma_{S(a,r)}(x)=a+\frac{r^2(x-a)}{|x-a|^2}} $$もし$$ {x\in \mathbb R ^n} $$
- $$ {\sigma_{S(a,r)}(\infty)=a} $$そして$$ {\sigma_{S(a,r)}(a)=\infty} $$
逆変換は累積的であることがわかります。σが逆変換の場合、 σ 2 = I d
さらに、これらの反転は同相同型です。
- 定義: メビウス変換のセットは、ホメオフィズムのサブグループです。 $$ {\hat\mathbb R^n} $$反転によって生成される、つまり、有限数の反転の複合体のセット。よく指摘されるのは$$ {\mathcal GM (\hat\mathbb R^n)} $$。
- 定義: メビウスグループ$$ {\mathcal M (\hat{\mathbb R^n})} $$方向を保持するメビウス変換のセットです。のサブグループです$$ {\mathcal GM (\hat\mathbb R^n)} $$。
一般的なプロパティ
今後、球を球または平面と呼びます (Beardon、離散群の幾何学)。反転によって球が球に変換されることに注目すると、次が得られます。
- プロパティ: メビウス変換は球を球に変換します
それが彼らの基本的な特徴の 1 つを構成します。
次の定理も同様に重要です。
$$ {\mathcal H^{n+1}=\{x, x_{n+1}>0\}} $$
- 性質: のポアンカレ拡張$$ {\phi\in\mathcal{GM}(\mathbb R^n)} $$のアイソメ図です$$ {\mathcal H ^{n+1}} $$双曲線メトリックを装備$$ {\frac{dx}{x_{n+1}}} $$。
メビウス変換の例
メビウス変換の主な例は次のとおりです。
- 翻訳 (2 つの反射の合成による)
- のアイソメトリ$$ {\mathbb R^n} $$(最大n個の反射の合成による)
- 相等性 ‘球に関する 2 つの反転の合成、次に等長性の合成による)
特定のメビウス変換は双曲幾何学で非常に役立ちます。
$$ {\mathbb R^{n+1}} $$
球に対して$$ {S(e_{n+1},\sqrt 2)} $$
に制限されています。 $$ {\mathbb R^n} $$
の立体投影に対応します。 $$ {\mathbb R^n} $$
S n = S (0,1)で$$ {\mathbb R ^{n+1}} $$
。実際、それは間の自然な微分同相写像です。 $$ {\mathcal H_{n+1}} $$
そしてB n + 1 = { x , | × | < 1} : 双曲幾何学の 2 つの視点を橋渡しします。