双曲幾何学 – 定義

導入

数学では、双曲幾何学(ロバチェフスキー幾何学とも呼ばれます) は、ユークリッド幾何学の最初の 4 つの公準を検証する非ユークリッド幾何学ですが、平行線のユークリッド公準は「線の外側の点によって、より多くの線を通過する」という公準に置き換えられます。一本の平行線よりも。我々は、平行線が無限に存在することを実証します。

双曲幾何学では、ピタゴラスの定理は無効になり、三角形の角度の合計はπ に等しくなくなります。線は常に、表面上の 2 点を結ぶ最短のパス線として定義されます。

ロバチェフスキー、クライン、ポアンカレは、同じ点を通過する特定の線への無限の平行線を追跡できる 非ユークリッド幾何学のモデルを作成しました。 2 次元では、ポアンカレ円板、ポアンカレ半平面などを挙げることができます。

歴史的

双曲幾何学の歴史は、18世紀初頭、イタリアの数学者ジョヴァンニ ジローラモ サッケリの研究で始まったようです。彼は、ライフワークである『誤りのないユークリッド』の中で、次の公準が成り立つことを証明しようとしました。ユークリッドは一貫性があり、ユークリッド幾何学を定義するために必要でした。特に、彼は不条理な実証を通じて、平行線に関するユークリッドの第 5 公準が偽であると仮定することで矛盾を得ようとしました。

彼はこの試みには失敗しましたが、一方で、第 5 公準が偽であると仮定することによって、互いに完全に矛盾しない多数の定理を取得し、それらは現在双曲幾何学に属しています。しかし、彼は目の前に新しい幾何学があることに気づかず、自分の仕事と人生を失敗だと考えていました。

18 世紀半ばには、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトもユークリッドの第 5 公準の否定の結果を研究し、双曲幾何学に属する正確な定理と結果、たとえば、三角形の角度の和を関数で与える式などを得ました。双曲幾何学における曲面：

C Δ = π − (α + β + γ)

ここで、 α、β、γは三角形の 3 つの頂点の角度、C は比例係数、 Δ は三角形の表面です。人生の終わり近くになって、彼はこれらの定理が「虚数半径の球体上に」本物の幾何学が存在することを証明していることに気づいたようだ。

それはほぼ 1 世紀後、双曲幾何学の真の出発点として一般に認識されているカール フリードリヒ ガウスの著作でしたが、彼の生前には出版されませんでした。彼はメモの中で構造化された理論を定式化しており、この幾何学がユークリッド幾何学と同等の数学的地位を持っていることを十分に認識していたと思われます。彼は、測地学の実験を通じて、双曲幾何学が宇宙の実際の幾何学の大規模なものではないかどうかを測定しようとしたことさえあったでしょう。

19 世紀には、双曲幾何学が 1830 年にニコライ・ロバチェフスキーによって再発見され、広範囲に調査されました。また、1832 年にはヤノス・ボリャイによって独立して行われました。

ユージェニオ・ベルトラミは 1868 年に、等角表現や射影表現を含む双曲幾何学のいくつかの表現を提案し、その後アンリ・ポアンカレとフェリックス・クラインによってそれぞれ再発見されました。彼はまた、ユークリッド幾何学が数学的に矛盾しないなら、双曲幾何学も必然的に数学的に矛盾しないことを実証しました。