導入
非ユークリッド幾何学は、ユークリッドの要素論で仮定された公理の少なくとも 1 つを修正する幾何学理論です。
さまざまな非ユークリッド幾何学は、5 番目の公準 (他の 4 つが公理として宣言された後の公準) を証明したいという欲求から来ていますが、これはあまりにも複雑で、おそらく冗長であるために満足のいくものではないと思われました。サッケリは不条理な行動を続けたが、 17世紀末には失敗した。
ユークリッドの要素では、公準は定理の結論に似ていますが、実証は含まれません。
- 2 つの直線に重なる直線が、同じ側の内角を 2 つの直線よりも小さくする場合、これらの直線は、無限に延長すると、角度が 2 つの直線よりも小さい側で交わることになります。
これは次のように理解できます。
- 線の外側の点を通ると、この線に平行する線は常に 1 つだけ通過します。
数世紀にわたり、ユークリッド幾何学はその有効性を疑問視することなく使用されてきました。それは長い間、論理演繹的推論の原型であるとさえ考えられてきました。確かに、幾何学的オブジェクトの直観的な特性を厳密な数学的構造で定義できるという利点がありました。
非ユークリッド幾何学の発展
N次元幾何学と非ユークリッド幾何学は幾何学の 2 つの別個の分野であり、組み合わせることができますが、必ずしも組み合わせる必要はありません。これら 2 つの幾何学に関して一般的な文献では混乱が生じています。ユークリッド幾何学は 3 次元であるため、非ユークリッド幾何学には必ず高次元が含まれると結論付けられました。
1824 年にユークリッドの幾何学に代わる幾何学が存在する可能性を定式化したのはガウスでした。
ロバチェフスキー (1829) やボリャイ (1832) のような負の曲率を持つ幾何学 (180° 未満の三角形の角度の合計、点を通る直線に可能な平行線は無限に存在する) と、正の曲率を持つ幾何学を区別します。リーマン (1867) のようなものです (極に平行な 180° を超える三角形の角度の合計)。一般に「リーマン幾何学」と呼ばれる幾何学は、規則的な曲率を持つ有限でありながら無限の空間である 3 次元の球状空間であり、平行線のユークリッド公準に代わるものです。リーマンはまた、 n次元の非ユークリッド幾何学の拡張理論を考案しました (1854 年の会議)。
「非ユークリッド幾何学」という概念は一般に湾曲した空間の概念を意味しますが、湾曲した空間の幾何学は 非ユークリッド幾何学の表現にすぎないとサマーヴィルは「非ユークリッド幾何学の要素」で説明しています（ロンドン、1914年）。 3次元の非ユークリッド空間が存在します。
さまざまな種類の非ユークリッド幾何学
双曲線幾何学
ロバチェフスキー、クライン、ポアンカレは、同じ点を通過する特定の線への無限の平行線を追跡できる幾何学モデルを作成しました。
ユークリッドの第 5 公準だけが解除されたことは注目に値します。非ユークリッド幾何学も、ユークリッドの他のすべての定義を尊重します。特に、線は常に、表面上の 2 点を結ぶ最短経路線として定義されます。 2 次元の双曲幾何学モデルには、ポアンカレ円板、ポアンカレ半平面など、いくつかのモデルがあります。
楕円形状
リーマンは、非ユークリッド幾何学の別のモデルである楕円幾何学を導入しました。この場合、線の外側の点を通る平行線を引くことはできません。モデルは非常にシンプルです。
- 点は球の対蹠点のペアです。
- 線は大円 (つまり、球と同じ中心を持つ円) です。
幾何学空間、ポアンカレの代表空間
「運動空間は、私たちの筋肉と同じくらい多くの次元を持つだろう。」 ポアンカレの『科学と仮説』のこの声明は、彼が考える 2 種類の空間、幾何学的空間と代表空間の間の最も明確な区別です。
幾何学空間
ポアンカレの場合、幾何学的空間には次の特性があります。
- それは継続的です。
- それは無限です。
- それは 3 つの次元を持っています。
- それは均質です。つまり、そのすべての点が互いに同一です。
- これは等方性です。つまり、同じ点を通過するすべての線は互いに同一です。
代表的な空間
ポアンカレでは、代表空間は純粋な視覚空間、触覚空間、運動空間という 3 つの形式で現れます。
代表的な空間の特徴は以下の通りです。
- 均一でも等方性でもなく、三次元とは言えません。
ポアンカレにとって、私たちの表現は私たちの感覚（視覚、触覚、運動）の再現にすぎません。したがって、私たちは幾何学的空間（連続、無限、均質、等方性、三次元）で外部物体を表現するのではなく、あたかもそれらが幾何学的空間内に位置しているかのように、これらの物体について推論します。
- 画家が平面的な絵画の上に物体をその三次元で描くことが不可能であるのと同様に、幾何学的空間で外部の物体を表現することは私たちにとって不可能です。
- 幾何学公理は、（したがって）総合的なアプリオリな判断でも実験的事実でもありません。これらは慣習であり、[…]偽装された定義[…]です。あるジオメトリが別のジオメトリよりも正確であることはなく、単により便利である可能性があります。
ポアンカレの四次元
ポアンカレの場合、4 次元のオブジェクトへのアクセスは偶然にのみ起こり得、私たちの知覚基盤は 3 次元空間のままです。
- それが何であれ、経験にはユークリッド仮説による解釈があります。
ポアンカレが「4 次元の不変の固体」を想定している場合、1754 年のダランベールの百科事典ですでに存在する 4次元としての時間の概念は、アインシュタインによって、ミンコフスキー (剛体 4 次元空間)。
このような時空には、特殊相対性理論における 3 次元存在の生成が含まれ、その後、一般相対性理論における曲線空間および時間座標系を備えた擬リーマン多様体が含まれる可能性があります。三次元空間との交差点が宇宙の「現在」を表現します。