数学定数e (対数を導入したスコットランドの数学者ジョン ネイピアにちなんでネーパー定数とも呼ばれます) は自然対数の基礎です。 1761 年にオイラーによって指数数と呼ばれた数値eは、およそ次のとおりです。
e ≈ 2.718 281 828 459 045 235 360 287 4…
歴史的考察
数値e は数値πと同じであり、指数関数の正規化で見つかるため、おそらく数学で最も重要な実定数です。ただし、文献に登場した時期を正確に特定することは困難です。実際、ネーパーがサイン、コサイン、積、商の計算を簡略化するための計算手段として対数を導入した場合、彼はこれらの対数の特定の底を指定しておらず、最も自然な対数は底 10 の対数です。
自然対数は、おそらくウィリアム・オートレッドによって書かれたネーピア論文の付録として 1618 年に初めて登場しました。
1624 年、ブリッグスは、正確には特定できませんでしたが、 eであることが判明した数値の10 進対数を近似しました。
1647 年、グレゴワール ド サン ヴァンサンは双曲線の下の面積を計算しましたが、数値eは強調しませんでした。
1661 年、ホイヘンスは双曲線の下の面積と対数関数を結び付けることができました。 e は実数で、1 とeの間の双曲線の下の面積が 1 に相当するため、この数値は自然対数の底として話題にされることなく、この時点で注目された可能性があります。
eが注目すべき数として初めて登場したのは、ベルヌーイが利子の計算に興味を持ち始めた 1683 年に遡ります。それが彼に数列の極限を研究させることになる
この定数のeという表記は、オイラーが 1731 年にゴールドバッハに宛てた手紙の中で与えられたものです。e の選択により、多くの推測が生まれました。「 eはオイラーと似ているのか?」エクスポネンシャルは好きですか？または、オイラーの研究で使用可能な最初の母音として単にe を使用します。 eの級数展開を与えるのもオイラーです
- $$ {e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{k!}+ \cdots} $$
そして連分数では:
- $$ {e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}} $$
e は無限の連分数展開を持つため、無理数になります。
しかし、 eが超越的であることを証明したのは 1873 年のエルミートでした。
定義と特性
eの定義
前述の考察は、 e がいくつかの異なる方法で定義できることを示しています。
- 関数 ln を関数のプリミティブとして定義する人にとって、 e はln(e) = 1 となる実数です。 $$ {x \to \frac{1}{x}} $$これは 1 で相殺されます。これが、この定数が自然対数の底とも呼ばれる理由です。
- e は、関数 exp を u’= u および u(0)=1 を検証する一意の関数として定義する人にとっては、exp(1) = e となる実数です。
- e は数列の極限です$$ {(1 + \frac 1n)^n} $$。
- e は数列の極限です$$ {\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}} $$(規則0! = 1 を使用)。
これら 3 つの定義の等価性は、exp 関数、ln 関数、およびシーケンスの制限を結び付ける関係から得られます。
e の小数点以下最初の 100 桁: 2.7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274
数論
ネーペル定数は整数論で広く登場します。数学者は非常に早くから数eの性質に興味を持っていました。 eの非合理性は 1761 年にランバートによって証明され、その後オイラーによって証明されました。 eの非合理性の実証は、その連続展開 (*e の非合理性の実証を参照) または連分数としての展開によって行うことができます。
eの超越性の証明は、1873 年にエルミートによって確立されました。私たちは当然、任意の整数 n について、さらには任意の有理数 r についても、 e nとe r も超越的であると推測しますが、 e が超越的であるかどうかはまだわかりません (2007)。 eは超越的かどうか。
この数の性質は、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の基礎となります。
e は正規数または乱数であると推測されました。
指数関数と微分方程式
任意の実数 x について、 e x p ( x ) = e xです。 ここで、 exp は、微分方程式y’ = yおよびy(0)= 1 を検証する一意の関数です。この関数は底をeとする指数関数と呼ばれます。
f ( x ) = C e a xで定義される関数である微分方程式y’ = ayのすべての解を与えることが可能になります。
三角関数
微分方程式u’ = iuおよびu(0) = 1に対する一意の複素解を求めると、関数u ( x ) = e i x = cos( x ) + i sin( x )とオイラーの恒等式が得られます。
- e i π + 1 = 0
リチャード・ファインマンによれば、これは「世界で最も注目に値する処方」であるという。オイラー自身も、5 つの基本的な数 0、1、 e 、 i 、 π をまとめるこの関係に驚いたでしょう。