フォン・コッホの雪の結晶について詳しく解説

導入

コッホの雪の結晶は、最初に説明されたフラクタル曲線の 1 つです (「フラクタル (e)」という用語が発明されるかなり前)。

1906 年にスウェーデンの数学者ヘルゲ フォン コッホ (1870 ～ 1924) によって発明されました。

コッホ曲線

建設の最初の 4 段階

アニメーション内の最初の 6 つの連続したカーブ

次のように各線分を再帰的に変更することで、線分から作成できます。

1. 線分を同じ長さの 3 つのセグメントに分割します。
2. 最初のステップの中央のセグメントを底辺とする正三角形を構築します。
3. 2 番目のステップでは、三角形の底辺である線分を削除します。

この 3 つのステップを経て、魔女の帽子の断面に似た形状のオブジェクトが完成します。

コッホ曲線は、上記の手順を無限に繰り返したときに得られる曲線の限界です。

次元の概念を拡張すると、値が次のようなフラクタル(非整数)次元をコッホ曲線に帰属させることが可能になります。

$$ {d = \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \simeq 1,26} $$

。

上記の変更を各線分に適用するたびに、全長が 3 分の 1 ずつ増加するため、コッホ曲線の長さは無限になります。

ただし、曲線で区切られた表面は有限です (直径が最初のセグメントである半円に含まれるため)。最初の反復で作成された三角形の面積が 1 になるように面積単位を選択した場合、 2 回目の反復で作成された 4 つの三角形のそれぞれの面積は 1/9 になります。したがって、合計面積は 4/ だけ増加します。 9.反復nに対して、次を追加します。

コッホ曲線は連続曲線の一例ですが、その各点で微分することはできません。

フォン コッホ曲線の変形

フォン コッホのコンセプトに従って、直角 (二次)、他の角度 (セザーロ フラクタル)、または高次元での拡張 (球フレーク、コッホ曲面) を考慮して、いくつかのバリエーションが設計されました。

変異体	図	工事
1D & 角度=85°	フラクタル セザーロ。	Cesàro フラクタルは、60° ～ 90° (ここでは 85°) の角度を持つコッホ曲線を一般化したものです。
1D & 90°	二次コッホ曲線 (タイプ 1)	最初の 2 回の反復。
1D & 90°	二次コッホ曲線 (タイプ 2)	最初の 2 つの反復。そのフラクタル次元は 1.5、つまり次元 1 と次元 2 の中間に相当します。この特性により、この曲線はフラクタル オブジェクトの物理的特性の研究で広く使用されています (サポヴァル参照)。
2D と三角形	フォン・コッホ面	最初の 2 回の反復。フォン コッホ曲線の自然な 2 次元拡張。
2D & 90°		最初の 3 つのステップ。
2D & 90°		最初の 3 つのステップ。
2D と球体	エリック・ヘインズは、球から構築されたコッホ スノーフレークの拡張である球フレークフラクタルを開発しました。