集合論では、2 つの集合 E と F は等能であると言われ、F に対する E の全単射が存在する場合、E ≈ F であることに注意します。その場合、2 つの等能集合は同じカーディナリティ、つまり、同じ「サイズ」、あるいは同じ数の要素です。
等価性は、カテゴリー内で同型であることに対応します。
$$ {{\mathcal Set}} $$
（総合的な機能を備えたセットのカテゴリー）。
任意の集合の集合において、等価関係は等価関係であり、その商の集合は基数の集合に同化することができます。この関係をすべての集合、つまり「すべての集合の集合」に拡張したくなるのは非常に魅力的ですが、実際には、この一般化がラッセルのパラドックスを含むさまざまなパラドックスにつながることが実証されています。
実際、たとえば次のようになります。
- ZFC集合理論では、「すべての集合の集合」は単純に存在できません。
- NGB クラス理論では、このオブジェクトは存在しますが、セットではなく、独自のクラスです。関係の概念は、いくつかの制限を犠牲にしてクラスに拡張できます。したがって、すべての集合のクラス内で等力関係を持つことができますが、次のことが起こります。
- この関係は、それ自体のクラスに相当します。
- そのグラフ自体が独自のクラスです。
- それは同値関係のままですが、等価性クラスと呼ばれるそのクラス (たとえば、シングルトンのクラスやペアのクラス) は、空集合のクラスを除いて、適切なクラスです。それで ：
- この関係の商集合を形成することはできません。
- より一般的には、基数をすべてのセットのクラス内の等能クラスとして定義することは避けなければなりません。そうしないと、セット、さらにはクラスや基数を形成できなくなります。
