群に関するラグランジュの定理 – 定義

導入

数学、特に群理論において、ラグランジュの定理は、有限群に関する組み合わせ情報を提供する基本的な結果を記述する定理です。数学者ジョゼフ=ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられました。

声明

Gの基数とHの基数の商は、 GにおけるHのインデックスと呼ばれ、[G:H] で表されます。

$$ {\mbox{card}(G)= \mbox{card} (H)\times[G:H]\,} $$

。

歴史的

フランスの数学者ジョゼフ・ルイ・ラグランジュは、多項式の不定数n を並べ替えることによって、得られる式の数が n の約数になることを実証しました。 。順列のセットは、今日ではnのグループとして見なされます。 n 個の変数を持つ多項式に作用する要素。ラグランジュの研究は、この作用の軌道の基数の計算として再解釈されます。これは群に関する研究の先駆けとして現れ、その最初の語彙用語はオーギュスタン・ルイ・コーシーの研究に続いて導入され、その定義は正式に確認されただけでした。 1882年にヴァルター・フランツ・アントン・フォン・ダイクによって与えられた。

デモンストレーション

最初のデモンストレーションは、古典的で比較的初歩的なデモンストレーションです。 2 つ目はグループ行動の概念に基づいており、その定義が思い出されます。

等価関係

定理の最初の証明は、集合G をHと等価な (つまり、 Hと同じ濃度の) 集合のファミリーに分割することで構成されます。パーティションのデータは、 G上の同値関係のデータに相当します。

どちらか

Gの二項関係は次のように定義されます。

$$ {x\mathcal R y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H} $$

次のプロパティをチェックします。

• 反射性:逆関数の定義により、 Gの要素x は同一性を検証します。
  $$ {x\cdot x^{-1}=e} $$
  。中性元素e は、部分群の定義によりHに属します。実際には、
  $$ {x\mathcal Rx} $$
  。
• 対称性: Gのすべてのxとyについて、次のように書きます。
  $$ {x\cdot y^{-1}=\bigl(y\cdot x^{-1}\bigr)^{-1}} $$
  。すぐに、
  $$ {x\cdot y^{-1}} $$
  以下の場合に限り、 Hに属します
  $$ {y\cdot x^{-1}} $$
  Hに属します。書き換えられた等価性:
  $$ { xRy\Leftrightarrow yRx} $$
  。
• 推移性: G内のすべてのx 、 y 、 zについて、積の結合性は次のようになります。
  $$ {x\cdot z^{-1}=\bigl(x\cdot y^{-1}\bigr)\cdot \bigl(y\cdot z^{-1}\bigr)} $$
  。パートH が製品ごとに安定している場合、
  $$ {x\mathcal R y} $$
  そして
  $$ {y\mathcal R z} $$
  、 それで
  $$ {x\mathcal R z} $$
  。

関係

は再帰的、対称的、推移的であるため、集合G上で同値関係を定義します。 eの同値類はHに他なりません。

関係に注意してください

はG-右不変です: G内のすべてのx 、 y 、 zについて、 暗黙的に（したがって、と同等である） 。特に、 C が同値クラスを指定し、 x がCの要素を指定する場合、集合ははeの同値クラスであるため、 H.確かに、C=Hx (C の y <=> xRy <=> H には次のような h が存在します) <=>y in Hx)、つまり 。

アプリのように

が全単射の場合、セットCとH は同じ基数を持ちます。直ちに、同値クラスはG をHと同じカーディナリティを持つ部分に分割します。

集団行動

集合Xに対する有限群Gの作用は、全単射写像のGの各要素gのデータです。

注目された要素にx を送信する 、次の 2 つの条件を確認します。

$$ {\forall x \in X,\ e \cdot x = x} $$

$$ {\forall g,h\in G, \; g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x} $$

有限群G が集合Xに作用する場合、 Xの点xのスタビライザーは、次のように群Gの要素hの集合として定義されます。

;安定剤がGのサブグループであることを検証するのは簡単です。 xの軌道は、要素yの集合として定義されます。 のために 。要素gによる共役は、 xのスタビライザーのスタビライザーへの全単射を引き起こします。 :

$$ {Stab(g\cdot x)=g\cdot Stab(x)\cdot g^{-1}=\{ghg^{-1}, h\in Stab(x)\}} $$

。

特に、 xのスタビライザーの濃度は、その軌道におけるxの選択に依存しません。シェパーズの補題の適用により、 xのスタビライザーの基数はGの基数を割り、その商はxの軌道の基数に等しくなります。

ラグランジュの定理の証明は、有限群Gの任意の部分群H をGの作用の安定剤として実現することで構成されます。考慮されるアクションは、グループGの部分のセットXの左への変換によるアクションであり、次のように定義されます。

$$ {\forall g\in G, \forall A\in X, \; g\cdot A=\{ga, a\in A\}} $$

。

部分群Hの安定剤は正確にHです。実際、等式g H = H は、 g h = eを検証する要素hの存在を意味します。言い換えれば、 g はHの要素の逆数でなければならず、フォルティオリ自体はHに属していなければなりません。逆に、 Hの要素の積はHに属するため、 Hの任意の要素h は次の条件を満たします。

。実際、二重包接によりHが安定化剤となり、その性質が発揮されます。