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括弧表記は、量子力学の方程式の記述を容易にするためだけでなく、量子状態を表すオブジェクトのベクトルの側面を強調するために、ポール ディラックによって導入されました (量子力学の公理を参照)。この名前は、「ブラケットのブラケット」を意味するブラケットという言葉遊びに由来しています。
$$ {\ \langle\} $$
” そして ” $$ {\ \rangle\} $$
それぞれ「ブラ」と「ケット」と呼ばれます。この表記法はそれ以来、作用素代数の数学的研究に使用されており、その応用分野はより広くなっています。「ケット」
意味
を状態空間のベクトルとする。注目される
$$ {\left| u \right\rangle} $$
これは、 Vector-ketまたはketと呼ばれます。2 つのケットは線形ベクトル空間を形成します。したがって、 λ 1とλ 2が複素数の場合、
- $$ {\left| v \right\rangle = \lambda_1 \cdot \left| u_1 \right\rangle + \lambda_2 \cdot \left| u_2 \right\rangle} $$
ケットです。
さらに進んでいくと、
$$ {\ |x\rangle\} $$
連続インデックスに依存する$$ {\ x\} $$
、そしてもし$$ {\ f\} $$
は複素関数であるため、 - $$ {\left| u \right\rangle = \int_{x_1}^{x_2}{f(x) \cdot d{x}}} $$
ケットです。
プロパティ
2 つのケットのスカラー積は複素数であり、次のように表されます。
$$ {\left( \left| \phi \right\rangle, \left| \psi \right\rangle \right)} $$
あるいはもっと単純に$$ {\left\langle \phi | \psi \right\rangle} $$
（以下を参照：ブラジャー）。この積は反線形です。つまり、次のことが言えます。 - $$ {\left\langle \phi | \lambda \cdot \psi_1 + \mu \cdot \psi_2 \right\rangle = \lambda \cdot \left\langle \phi | \psi_1 \right\rangle + \mu \cdot \left\langle \phi | \psi_2 \right\rangle} $$
しかし、それは：
- $$ {\left\langle \lambda \cdot \phi_1 + \mu \cdot \phi_2 | \psi \right\rangle = \lambda^* \cdot \left\langle \phi_1 | \psi \cdot \right\rangle + \mu^* \cdot \left\langle \phi_2 | \psi \right\rangle} $$。
(式
$$ {\ c^*\} $$
ということは、次の共役複素数を取ることを意味します。 $$ {\ c\} $$
— 複素数を参照)この選択により、複素数のスカラー空間で正となるノルムの定義が可能になります。実際、ベクトル自体のスカラー積は、そのノルムの2 乗に等しくなります。
- $$ {\left\langle \lambda \cdot \psi | \lambda \cdot \psi \right\rangle = \lambda \cdot \lambda^* \cdot \left\langle \psi | \psi \right\rangle = {\left|\lambda\right|}^2 \cdot \left\langle \psi | \psi \right\rangle} $$、
と
$$ {\ \lambda\} $$
スカラー 一種のスケーリング係数。したがって: - $$ {\left\langle \psi | \psi \right\rangle = {\left|\left| \psi \right|\right|}^2} $$
ベースとコンポーネント
ベースを使用してケットのコンポーネントを定義すると便利です。これはベクトルのセットです
$$ {\left| u_n \right\rangle} $$
、線形独立。状態空間の次元と同じ数のベクトルが存在します$$ {\ \epsilon\} $$
、 そして$$ {\dim{\left( \epsilon \right)} = N} $$
。したがって、分解することができます
$$ {\left| \psi \right\rangle} $$
の根元にある$$ {\left| u_n \right\rangle} $$
: - $$ {\left| \psi \right\rangle = \sum_{n = 1}^N {\psi_n \cdot \left| u_n \right\rangle}} $$、
または
$$ {\ \psi_n\} $$
のコンポーネントです$$ {\left| \psi \right\rangle} $$
そして複素数に属します。通常、ケットは、垂直方向に配置された一連の数値 (コンポーネント) である列ベクトルとして表されます。
- $$ {\left| \psi \right\rangle = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_N \end{pmatrix}_{\epsilon} = \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_N \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \left| u_1 \right\rangle & \left| u_2 \right\rangle & \cdots & \left| u_N \right\rangle \end{bmatrix}} $$
「ブラ」
意味
空間の各ケットと関連付けたい
$$ {\ \epsilon\} $$
、複素数。このために、線形関数を定義します。 $$ {\ \chi\} $$
のような ： - $$ {\chi : \left| \psi \right\rangle \rightarrow \lambda = \chi(\psi)} $$、 そして
- $$ {\chi{\left( \lambda_1 \cdot \left| \psi_1 \right\rangle + \lambda_2 \cdot \left| \psi_2 \right\rangle \right)} = \lambda_1 \cdot \chi{\left( \left| \psi_1 \right\rangle \right)} + \lambda_2 \cdot \chi{\left( \left| \psi_2 \right\rangle \right)}} $$
これらの線形関数の集合はベクトル空間を構成します
$$ {\ \epsilon^*\} $$
の二重空間と呼ばれる$$ {\ \epsilon\} $$$$ {\left\langle \phi \right|} $$
。したがって、線形関数が
$$ {\ \chi\} $$
に作用する$$ {\left| \psi \right\rangle} $$
、次を取得します。 - $$ {\chi{\left( \left| \psi \right\rangle \right)} = \lambda = \left\langle \phi | \psi \right\rangle} $$
この新しい表記法は、実際に、ブラ、ケット、およびケット間のドット積の間に存在する関係を強調しています。ケットを持っていきましょう
$$ {\left| \phi \right\rangle} $$
。そのスカラー積は、 $$ {\left| \psi \right\rangle} $$
番号を与える$$ {\ \lambda\} $$
。したがって、線形関数を定義しました。 $$ {\left| \psi \right\rangle} $$
複素数に一致します$$ {\ \lambda\} $$
、 から$$ {\left| \phi \right\rangle} $$
: - $$ {\phi{(|\psi\rangle)} = \lambda = \left( \left| \phi \right\rangle, \left| \psi \right\rangle \right)} $$
この機能が注目されているので、
$$ {\left\langle \phi \right|} $$
、次のようにも書きます。 - $$ {\left( \left| \phi \right\rangle, \left| \psi \right\rangle \right) = \left\langle \phi \right| \cdot \left| \psi \right\rangle = \left\langle \phi | \psi \right\rangle} $$
これにより、各ケットはスカラー積などのブラジャーに対応すると言えます。
$$ {\left( \left| \phi \right\rangle, \left| \psi \right\rangle \right)} $$
書かれています$$ {\left\langle \phi | \psi \right\rangle} $$
。しかし、この対応は決して相互的ではありません。 「ケット等価物」を持たない (非線形) アームが存在します (これらのアームは非線形関数であり、方程式に ket 解がないか、または ket 解が存在しないため、等価性に関する一意の ket が存在しません)。方程式のいくつかの ket 解)。書き込み
$$ {\left\langle \phi | \psi \right\rangle} $$
1 つは関数をケットに適用した結果であり、もう 1 つは 2 つのケットのスカラー積です。プロパティ
bra と ket の間には対応関係があります。
- $$ {\left| \psi \right\rangle \rightarrow \left\langle \psi \right|} $$（しかし$$ {\left\langle \psi \right| \rightarrow \left| \psi \right\rangle} $$常に真実であるとは限りません。)
ドット積の反線形性は、次の対応を意味します。
- $$ {\lambda \cdot \left| \psi \right\rangle \rightarrow \lambda^* \cdot \left\langle \psi \right|} $$
確かに、その基準は、
$$ {\lambda \cdot \left| \psi \right\rangle} $$
は正定値です: - $$ {{\left|\left| \lambda \cdot \left| \psi \right\rangle \right|\right|}^2 = \lambda \cdot \lambda^* \cdot \left\langle \psi | \psi \right\rangle = \left( \lambda^* \cdot \left\langle \psi \right| \right) \cdot \left( \lambda \cdot \left| \psi \right\rangle \right)} $$
ケットを識別します
$$ {\lambda \cdot \left| \psi \right\rangle} $$
これは、式の「残り」が線形関数の双対空間内の対応するものであることを意味します。コンポーネント
ノルムを記述すると、双対ベクトル空間のコンポーネントの形式でブラジャーを記述することができます。
$$ {\ \epsilon^*\} $$
ベクトル空間と同じ次元$$ {\ \epsilon\} $$
状態: - $$ {\dim{\left( \epsilon \right)} = \dim{\left( \epsilon^* \right)} = N} $$、
- $$ {\left\langle \phi \right| = \sum_{n = 1}^N{\phi_n \cdot \left\langle u_n \right|}} $$、
- $$ {\left| \psi \right\rangle = \sum_{n = 1}^N{\psi_n \cdot \left| u_n \right\rangle}} $$。
また、腕を、水平に配置された一連の数値 (コンポーネント) である線ベクトルの形式で表します。
- $$ {\left\langle \phi \right| = \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_N \end{pmatrix}_{\epsilon^*} = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_N \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \left\langle u_1 \right| \\ \left\langle u_2 \right| \\ \vdots \\ \left\langle u_N \right| \end{bmatrix}} $$
行行列にはスカラーのみが含まれ、列行列にはユニットアームのみが含まれ、スカラーとアームの積は可換であるため、上記の行列積は可換であることに注意してください。また、行列積 d が列行列と行行列の場合、定義されており、常に可換です。スカラーの列行列とケットの行行列の行列積も同様です。
その後、ブラとケットのスカラー積を、4 つの行列 (2 つのスカラー行列とユニット アームまたはユニット ケットの行列) の積の形式で書くことができます。スカラー行列を並べ替えることにより、ユニット アーム行列とユニット ケットの積を決定することが残ります。ここで、これらのユニタリ行列が転置および共役されていることに注目します。これは、それらの積がそれらのノルムの積に換算されることを意味します。定義上、単位行列のノルムは 1 であるため、これらの単位行列は内積から削除できます。スカラー積の定義自体により、次のように 2 つのスカラー行列の積という観点から簡単に書くことができます。
- $$ {\left\langle \phi | \psi \right\rangle = \left( \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_N \end{pmatrix}_{\epsilon^*}, \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_N \end{pmatrix}_{\epsilon} \right) = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_N \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_N \end{bmatrix} = \sum_{n = 1}^N{\phi_n \cdot \psi_n}} $$
語源
英語でブラケットは「フック」を意味し、これがブラケットの名前の由来となり、「左舷」と「右舷」に少し似ています。
ディラック演算子と表記法
一般に、空間に作用する線形演算子は、
$$ {\ \epsilon\} $$
状態は、次の形式の演算子の線形結合の形式で記述することができます。 - $$ {\left| \psi \right\rangle \cdot \left\langle \varphi \right|} $$、
状態に対するアクションは ket で表されます
$$ {\left| \phi \right\rangle} $$
、単に状態になります: - $$ {\left\langle \varphi | \phi \right\rangle \cdot \left| \psi \right\rangle} $$、
書面での大幅な節約が可能になります。
参考資料
- رمز براكيت – arabe
- Бра і кет – biélorusse
- ব্রা-কেট প্রতিক – bengali
- Bra–ket notacija – bosniaque
- Notació bra-ket – catalan
- Diracova notace – tchèque