放物線軌道について詳しく解説

空間内の物体の動きが放物線を描く場合、軌道は放物線であると言われます。

放物線軌道の発見は 1638 年のガリレオによるものと考えられています。一部の科学史家は、ガリレオは噴水の水の軌道を表現する方法を知っていた当時の芸術家に大きな影響を受けたと考えています。 ^{[ 1 ]}

例

物体が空中に投げられるとき、厳密に垂直上向きに発射された場合を除いて、その軌道は放物線と比較できる曲線になります。たとえば、砲弾やペタンクボールの発射は、準放物線状の軌道を描きます。彗星は「放物線」軌道で太陽または地球の近くを通過します。飛行機が放物線の軌道を描く場合、乗客は無重力状態になります。

均一な重力場(摩擦がない場合) にさらされた物体の動きは、放物線 (弾道) 軌道になります。

均一な重力場を含むガリレオ座標系R ( O , x , y , z )に自分自身を置きます。

$$ {\vec g = -g.\vec e_z} $$

。最初に (t=0 で) ある速度にさらされた質量mの発射体Mの軌道を研究することを提案します。

$$ {\vec v_0} $$

。

その場合、発射体はそれ自体の重さのみを受けることになります。

$$ {\vec P} $$

(流体摩擦の影響は無視します)。力学の基本原理であるニュートンの第 2 法則によれば、システムに加えられる力の合計は、発射体の質量とその加速度の積に等しくなります。

ただし、ここで適用される唯一の力は重力であるため、次のようになります。

$$ {\vec P = m.\vec g = m.\vec a} $$

、またはもう一度:

$$ {\vec g = \vec a} $$

。

自由落下の場合、時間通りであると考えられるあらゆる物体の加速度は重力加速度を持ちます。

注意: 加速度は速度の時間の微分値として定義され、それ自体は位置ベクトルの時間の微分値として定義されます。我々は持っています

$$ {\overrightarrow{a_{M/R}} = \frac{\textrm{d}\overrightarrow{v_{M/R}}}{\textrm{d}t} = \frac{{\textrm{d}^2}\overrightarrow{OM}}{\textrm{d}t^2}} $$

取得します

$$ {\vec a_{M/R} = g.\vec e_z} $$

。

積分することで次のことが得られます

$$ {\vec v_{M/R} = (gt + v_0)\vec e_z} $$

。

2 回目の積分により、次のようになります。

$$ {\overrightarrow{OM} = (\frac {1}{2} gt^2 + v_0 t)\vec e_z} $$

原点では、点 M は O にあるため、またはベクトル表記でも同様です。

$$ {\overrightarrow{OM} = \frac {1}{2} \vec g t^2 + \overrightarrow {v_0} t} $$

。

このようにして、時間の経過に伴う点 M の運動方程式が得られます。