導入
多項式は次の形式の方程式です。
- $$ { \qquad a_n x^n + a_{n – 1} x^{n – 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0,} $$
どこで
$$ {a_i \!} $$
、方程式の係数と呼ばれる、が与えられます。係数はほとんどの場合実数または複素数ですが、どの環でもその値を取ることができます。数学では、多項式は方程式理論の中心的な主題です。方程式理論の目標は、多項式の根を見つけることです。これは、多項式を解くのと似ています。方程式を解くことは、未知の値のセットを見つけることで構成されます。
$$ {x \!} $$
(特定のセットに属し、通常は係数と同じ本体またはリング)、方程式の解と呼ばれ、多項方程式が真です。方程式の次数を、ゼロ以外の係数が割り当てられた未知数の最大累乗と呼びます。たとえば、次の方程式
$$ {x^2 + 2x + 1 = 0 \!} $$
未知の$$ {x \in \mathbb R} $$
は実数の 2 次多項式です。 (一意の解(二重解)は−1です。)
理論
多項式
方程式を立ててみましょう
- $$ {(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_{n – 1} x^{n – 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0,} $$
その係数a i はフィールドに属します
$$ {\mathbb K} $$
。の(E)の解決策$$ {\mathbb K} $$
多項式の根です- $$ {P = a_n X^n + a_{n – 1} X^{n – 1} + \cdots + a_1 X + a_0 \quad \in \mathbb K[X],} $$
不定のx を未知のxに置き換えることによって得られます。
代数では、 n次の多項式には最大でもn 個の根があることが示されます。したがって、方程式 (E) は最大n 個の解を許容します。
もし
$$ {\mathbb K’} $$
の超体です$$ {\mathbb K} $$
、 (E) を次の係数を持つ方程式と考えることができます。 $$ {\mathbb K’} $$
;および (E) の解決策$$ {\mathbb K} $$
のソリューションでもあります$$ {\mathbb K’} $$
(その逆は一般に誤りです)。のオーバーボディを見つけることはいつでも可能です$$ {\mathbb K} $$
、多項式Pの分解本体と呼ばれ、(E) は少なくとも 1 つの解を許容します。
実数式および複素数式の解の存在
ダランベール-ガウスの定理は、複素体は代数的に閉じている、つまり複素係数を持ち、次数が少なくとも 1 つある多項式は解を受け入れることができると述べています。
したがって、実係数を持つ 1 次以上の多項式は複素解を許容することになります。一方、 x 2 + 1 = 0のような方程式には解がありません。
$$ {\mathbb R } $$
(その解は複素数iと− iです)。実数式Pの実数解の直観と同様に、複雑な実数式は驚くべきものであり、その位置が直観的には決定できないように見えることがあります。
ただし、奇数次の実多項方程式は必然的に実数解を認めます。実際、関連する多項式関数は連続的であり、次のような傾向があります。
$$ {-\infty} $$
の近くで$$ {-\infty} $$
そして向かって$$ {+\infty} $$
の近くで$$ {+\infty} $$
。したがって、中間値の定理によれば、特定の実数では値 0 が取られ、これが方程式の解となります。ガロア理論とのリンク
係数の関数として次数が 4 以下の実数または複素多項式の解を与える式があります。アーベルは、5 次以上の方程式については (通常の 4 つの演算と根だけを使用して) このような一般式を見つけることは不可能であることを示しました。ガロア理論は、多項方程式が与えられた場合に、その解が根号で表現されるかどうかを判断するための基準を提供します。