エーレンフェストの壺モデル - 定義

導入

壺モデルは、新興の統計力学の基礎に現れたいくつかの「パラドックス」を説明するために、1907 年にエーレンフェスト夫妻によって導入された確率モデルです。ボルツマンが定理 H を発表した直後、特にロシュミット、次にツェルメロによって激しい批判が展開され、ボルツマンは「疑わしい数学」を実践しているとして非難されました。

このモデルは「犬とノミのモデル」とも呼ばれます。数学者のマーク・カックは彼について次のように書いています。

「…おそらくすべての物理学の中で最も有益なモデルの 1 つ…」

骨壺のモデル

確率モデルの定義

2 つの壺AとB 、および 1 からNまでの番号が付けられたN 個のボールを考えます。最初はすべてのボールが壺Aに入っています。関連する確率的プロセスは、次の操作の繰り返しで構成されます。

1 からNまでの数字i をランダムに引き、ボール n° iを取り、それがなかった壺に移します。

慣例により、最初の瞬間はt ₀ = 0です。

モデルダイナミクス

N = 500 ボール;印刷枚数は10,000枚。

このモデルでは、時間の経過とともに、壺A内に存在するボールの総数n(t)を(離散的に) 追跡します。最初はn(0)=Nから始まり、平均値N/2に向かって減少し始める曲線が得られます。これは、「良好な」熱力学システムでは、最初は平衡状態から外れ、平衡状態に向かって自発的に緩和することが予想されます。

N = 4 ボール; 100枚プリント。 Nが小さい場合、平均値付近の変動が重要であり、初期状態への回帰が特に目立ちます。

しかし、この減少は不規則です。平均値N/2付近で変動があり、これが非常に大きくなる場合があります (これは、 Nが小さい場合に特に顕著です)。

特に、有限の数のボールNが何であれ、初期状態では常に反復が存在し、有限の期間後にすべてのボールが壺Aに戻ります。しかし、2 つの連続する再発の間の平均時間はNとともに非常に急速に増加するため、 Nが非常に大きい場合 (通常、統計物理学ではN はアボガドロ数の大きさのオーダーです)、これらの再発は私たちには見えません。

「犬とノミのモデル」バージョン

このバージョンでは、2 つの壺が 2 匹の犬に置き換えられ、 N 個のボールがN 匹のノミに置き換えられ、1 匹の犬からもう 1 匹の犬へと飛び移ります。

正確な解決策

例: [Kac-1947] および: [Kac-1957] を参照してください。

回帰とカックの定理 (1947)

初期状態への回帰

初期状態には繰り返しがあり、数えられる瞬間のシーケンスによって特徴付けられます。

$$ { \{ t_n \}_{n=1, 2, \dots } } $$

すべてのボールが壺Aに戻る有限です。つまり、 n ( t _n ) = N (慣例により、 t ₀ = 0に設定します) となります。次に、2 つの連続する反復の間の有限期間の新しい可算シーケンスτ _n = t _n − t _{n − 1}を定義できます。

カックの定理 (1947)

初期状態までの 2 つの連続した再発の間の平均時間を計算することができます。

$$ { \langle \ \tau \ \rangle \ = \ \lim_{p \to \infty} \ \frac{1}{p} \ \sum_{n=1}^p \ \tau_n } $$

次の定理があります [Kac – 1947]:

$$ { \langle \ \tau \ \rangle \ = \ 2^N } $$

さらに、標準偏差σによって特徴付けられる、平均値付近の期間の分散が同じオーダーの大きさであることを示すことができます。

$$ { \sigma \ = \ \sqrt{ \ \lim_{p \to \infty} \ \frac{1}{(p – 1)} \ \sum_{n=1}^p \ \left[ \, \tau_n \, – \, \langle \ \tau \ \rangle \, \right]^2 \ } \ \sim \ \langle \ \tau \ \rangle } $$

たとえば、[Kac-1957] を参照してください。