導入
「ニュートン フラクタル」は、ニュートン法を多項式に適用することを特徴とする複素平面で定義された境界セットです。
意味
ニュートンのフラクタルは有理型関数のジュリア集合です
したがって、古典的なニュートン フラクタルは多項式z 3 − 1に関連付けられ、平面をその 3 つの根に関連付けられた 3 つの領域に分割します。
工事
複素平面の多くの点は、次の方法で各ルートに関連付けられます。
複素平面の点z 0が開始点として選択されます。ニュートンの反復法を適用します。
特に、古典的なニュートン フラクタルは、以下を反復することによって取得されます。
この規則により、点z 1 、 z 2などのシーケンスが得られます。シーケンスが多項式の根R kに向かって収束する場合、 z 0 は領域G kに属します。この領域は「根の引力盆地R k 」とも呼ばれます。
ただし、少なくとも 2次の多項式では、ニュートン数列が収束しない点が存在します。これは、各根の引力領域の境界の場合です。
フラクタル構造
ニュートンのフラクタルは、他のフラクタルと同様に、単純な説明にも関わらず複雑な外観を示し、あらゆるスケールで見られる自己相似性を示します (以下の連続ズームを参照)。
ニュートンz 3 − 1 | 第1ズーム | 2番目のズーム |
また、ニュートン法は初期条件に非常に敏感であり、無限に近い 2 つの初期点が異なる根に収束する可能性があることも示唆しています。
最後に、ニュートン フラクタルの各点が、n 個の引力領域のそれぞれを分離する複数の境界点であることが示されています。 2 つの無限に近い点が 2 つの異なるルートに収束する場合、同様に無限に近い 3 番目のルートに収束する 3 番目の点が存在します。和田湖についてはこちらの記事をご覧ください。
一般化
ニュートンの反復を一般化すると次のようになります。
- $$ {z_{n+1}=z_n- a \frac{p(z_n)}{p'(z_n)} } $$
ここで、 a は複素数です。特殊なケースa = 1は、古典的なニュートン フラクタルに対応します。aが半径 1 の 1 を中心とする円盤に属している場合、この変換の不動点は安定します。この円盤の外側では、固定点は局所的に不安定ですが、変換はジュリア集合の意味でフラクタル構造を示します。 p が次数nの多項式の場合、シーケンスz n は、 a がn を中心とする半径nの円盤内に留まる限り、有界となります。
その他の方法
関連するフラクタルは、ニュートンのフラクタルと共通の特徴、つまり三重境界、すべてのスケールでの自己相似性、および 3 つの無関係な引力盆地 (流れ) を共有します。選択した初期条件に応じて、セカント法は非収束ゾーンを作成します。
多項式関数z 3 − 1に適用された以下の例を参照してください。
| 方法 | 式 | 収束 | 図 | 備考 |
|---|---|---|---|---|
| セカント法 | $$ {\scriptstyle{z_{n+1} = z_n – \frac{z_n-z_{n-1}}{p(z_n)-p(z_{n-1})} p(z_n). }} $$ | 1,618 |  | セカント法では、導関数p ‘( z n ) を次のように近似することで、導関数の計算を回避できます。 $$ {\textstyle{\frac{p(z_n)-p(z_{n-1})}{z_n-z_{n-1}}}} $$ 。この図では、 z − 1 をz 0の近くに配置しています。 |
| ニュートン法 | $$ {\scriptstyle{z_{n+1} = z_n – \frac{p(z_n)}{p'(z_n)}}} $$ | 二次関数 |  | |
| 世帯主方式 | $$ {\scriptstyle{z_{n+1} = z_n – \frac{p(z_n)}{p'(z_n)}\times (1+h_n)}} $$ と$$ {\scriptstyle{h_n = \frac{p(z_n) p”(z_n)}{2 p'(z_n)^2}}} $$ | キュービック |  | ハウスホルダーの方法は、ニュートンとハレーの方法を一般化したものです。 |
| ハレー法 | $$ {\scriptstyle{z_{n+1} = z_n – \frac {2 p(z_n) z'(z_n)} {2 {[z'(z_n)]}^2 – p(z_n) p”(z_n)}} } $$ | キュービック |  |