導入
幾何学では、円錐は線織面または立体を指します。
表面
一般的な場合
円錐は、頂点と呼ばれる固定点Sとディレクター カーブと呼ばれる閉平面曲線( c ) を記述する可変点を通る、ジェネレーターと呼ばれる直線 ( d ) によって定義される線織曲面です。
この場合、円錐面についても話します。
回転円錐
これらの円錐面の中で最も研究されているのは回転円錐であり、方向曲線は (SO) に垂直な平面内に位置する中心 O を持つ円です。この円錐は、S を通る直線 (d) を、(d) とは異なる軸 (Sz) を中心に回転させるだけで生成できるため、回転と呼ばれます。次に、円錐の生成器は回転軸に対して固定角度αを形成します。
この回転円錐に基づいて、数学者 (ペルガのアポロニウスを含む) は一連の曲線を円錐 (円錐と平面の交点)、つまり円、楕円、放物線、双曲線として分類しました。
正規直交座標系 ( S 、 i 、 j 、 k ) では、軸 ( Sz ) と頂点Sをもつ回転円錐の方程式は次のように与えられます。
- $$ {x^2+y^2=z^2(\tan\ \alpha)^2} $$
ここで、 α は軸とジェネレータによって形成される円錐の角度です。
平面による回転円錐の断面
平面が円錐の回転軸に平行または垂直である場合、次の曲線が得られます。
- 回転軸に垂直な面による回転円錐の断面は円です。
- 回転軸に平行な平面による回転円錐の断面は、
- 平面に回転軸が含まれている場合、2 つの交差する線の結合
- それ以外の場合は誇張
より一般的には、回転円錐を平面で切断すると円錐曲線が得られます。したがって、次のことがわかります。
- 平面が円錐の母線と厳密に平行である場合の放物線(母線に変換される可能性があります)
- 平面に垂直なベクトルと回転軸によって形成される角度が π/2 – α より小さい場合の楕円 (おそらく点に縮小される)
- 平面に垂直なベクトルと回転軸によって形成される角度が π/2 – α より大きい場合の双曲線 (おそらく 2 つの割線に縮小される)
固体
一般的な場合
また、円錐面、頂点S 、およびS を含まない平面 ( P ) とすべてのジェネレーターでの割線によって区切られた固体を円錐と呼びます。平面と表面の断面は円錐の底面と呼ばれます。
断面が中心Oの円形で、線分( OS )が断面に垂直なとき、その円錐を回転円錐または直円錐と呼びます。最も有名なコーン（アイスクリームコーン、ピエロの帽子）です。この場合、円上の任意の点から頂点を隔てる距離は一定であり、円錐の頂点と呼ばれます。
円錐の形が何であれ、その体積は常に
- $$ {V = \frac{1}{3}B\times h} $$
ここで、 Bは底面の表面、 h は円錐の高さ、つまり頂点Sと平面 ( P ) の間の距離です。
回転円錐の場合
回転円錐の特定の場合、体積Vと面積A (円錐を囲む表面の面積: 側面積 + 円形底面) の式は次のとおりです。
- $$ {V = \frac{1}{3}\pi r^2\times h} $$
- $$ {A = \pi r (r+a)\,} $$、
ここで、 rは基礎円の半径、 h は円錐の高さ、
- $$ {a = \sqrt{r^2 + h^2}} $$
コーンの代名詞。
側面積A l (ベースなし) の価値があります。
- $$ {A_l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r^2 \sqrt{1 + \frac{h^2}{r^2}}} $$
- $$ {1 + \frac{h^2}{r^2} = \frac{1}{\sin ^2\alpha}} $$
ここで、α は頂点の半角です。 A 0 が基底 π⋅ r 2の面積である場合、次のようになります。
- $$ {A_l = \frac{A_0}{\sin \alpha}} $$
この式は、たとえば円錐形の火炎の場合の火炎面の面積、つまりこの火炎のガス消費量と出力を計算するために使用されます。
回転円錐の平面による断面図
回転円錐という立体を底面に平行な面で切ると円が得られます。この円の半径r 1は、タレスの定理を使用して、底面の半径r 、円錐の高さh 、および平面と円錐の頂点の間の距離h 1の関数として取得されます。
- $$ {\frac{r}{h}=\frac{r_1}{h_1}} $$
この同じ円錐を回転軸を含む平面で交差すると、底辺2r 、高さhの二等辺三角形が得られます。
回転円錐のパターンまたは展開
半径rと高さhの回転円錐のパターンを取得するには、まずアポセムを計算する必要があります。
- $$ {a=\sqrt{r^2+h^2}} $$
したがって、半径rの円と、中心角が次の半径aの円の一部を描くだけで十分です。