導入
コンパクト空間における双子のパラドックスは、空間部分が「閉じた」トポロジーを持つ時空の文脈におけるランジュバン双子のパラドックスの拡張です。より正確に表現すると、これらの時空の空間部分はコンパクトスペースです。
説明
ここで、バーナードは、アランが動かないまま、空間の「閉じた」軌道に従って一定の速度で「宇宙を一周」することに満足しています。バーナードは決して振り向かないので、加速を感じません。状況はアランとベルナールの間で完全に対称であるように見えますが、これは誤りです。なぜなら、コンパクトな空間部分の時空では（たとえそれがハイパートリック静的時空の場合のように平坦で静的であっても）特殊相対性理論が適用されないからです。実際、相対論的対称性は全体的に破られています。これらの時空では、動く双子の加速がないにもかかわらず、この違反（不動と表現できる特権的な慣性基準系の起源における）は、宇宙の非対称性の「パラドックス」を取り除くのに十分です。動かない双子の老化と比較した、一様な並進運動をしている双子の老化。
実際、コンパクトな空間部分の時空に現れる相対論的効果の非対称性は、回転する基準系におけるこれらの同じ効果の非対称性 (サニャック効果)、非相反ローレンツ時間膨張との強い類似性を示し、メーターを回転させる時計に適用されます。回転メーターに適用できるローレンツの非相反円周収縮）。双子の老化の非対称性、移動する双子のメートルのローレンツ収縮、およびコンパクト空間におけるサニャック効果の類似物（移動する双子の静止慣性座標系における光の相対速度の異方性）を理解することは、この対応により促進されます。これらの非相反効果は、実際、回転座標系の場合にすでに分析されています。
ただし、難点もあります。たとえば、ハイパートリックな静的時空では、イベントの近傍では、計量はミンコフスキーになります。したがって、相対論的効果の対称性は依然として適用可能であると信じたくなるかもしれません。ローカル対称性とグローバル対称性の違いを理解していないと、ランジュバンのパラドックスが混乱する可能性があります。実際、この時空のトポロジーは、特権的な慣性基準系の存在の原因です。ミンコフスキー時空に特有の特権的な慣性系が存在しないことに少し慣れすぎていると、これを認めること（そしてそれから自然に生じる相対論的効果の非対称性を認めること）は困難です。
この理解の難しさは、この枠組みの中で、不動慣性座標系として説明できる特権慣性座標系のクラスを強調する方法を理解していれば、簡単に克服できます。これは、宇宙を周回してこれら 2 つの時計を通過する軌道の 2 つの部分のそれぞれにおいて、これら 2 つの時計の中間に位置する 2 つの送信機から光信号を送信することにより、遠く離れた時計を同期させることによって達成されます (これら 2 つの時計を通過する軌道が閉じるとき)。これら 2 つのクロックは、それ自体でこの軌道上を一定の速度で移動します)。この時空で不動の慣性基準系は、これらの時計の二重同期が体系的にそれらの同時性の独自の定義を引き起こすという事実によって区別されます (2 つの同期の間に矛盾はなく、これらの時計が同期している場合、サニャック効果に類似した同期競合が発生します)。クロックは同じ非ゼロ速度で動いています v)。この二重同期方法は、ハイパートリックな静的時空内で不動の慣性基準系を特定し、同時に普遍的同時性（この時空内で不動の慣性基準系で起こる同時性）を定義することを可能にします。
1 つの状況について、もう少し詳しく見ていきます。
アランはハイパートリックな静的時空の中で動けませんが、それについては何も知りません。ローカル効果にのみアクセスできる限り、彼は自分の時空がミンコフスキー時空であると信じています。実際、局所的には、彼は自分の間違いを認識できるような全体的な影響 (相対論的不変性の違反) に気づいていません。したがって、彼は局所的な影響しか認識していないため、不動の概念は彼の時空では物理的な意味を持たないと素朴に信じています（不動の客観的な概念の欠如は、いわゆるローレンツ不変性、つまり一定速度での並進運動の相対性を表します）。 。
バーナードは宇宙旅行に出かけます。彼はアランのもとを去り、一定時間後に彼のところに戻ってきます（宇宙の特徴的な次元が非常に大きい場合、これは非常に長い時間になる可能性があります。これは、実験の枠組み内で考慮される他の状況とは異なり、実験的に実行するのが簡単な種類の実験ではありません）参照フレームを回転させます)。
どちらの座標系も慣性があり、時間の遅れの相反性を適用できるようです。したがって、動いているベルナールを見たアランは、（同じ慣性座標系にいる同僚と情報を交換することによって間接的に）ベルナールの時計が自分の時計よりも遅いことに気づきます。ベルナールがアランの元に戻ると、アランはベルナールが確かに自分より年下であることに気づきます。だから、旅行しているのはバーナードだ、と彼は正しく自分自身に言いました。
バーナードは慣性座標系の中にいるので、同じ推論を適用できると信じています。アランが猛スピードで立ち去るのが見えた。彼が（向こう側で）自分のところに戻ってくるのを見たとき、彼は事実と向き合わなければなりません。アランは彼よりもはるかに年をとった。したがって、じっとしていたのはアラン（彼ではなく）でした。
ランジュバン双子のパラドックスに戻りますが、これも同様の方法で解決されます。相対論的対称性はこの状況には当てはまりません。実際、ハイパートリック静的時空は一般に相対論的対称性を尊重しません。
この状況が誤解されると、正当化するのがさらに困難になります。以下の説明自体は、コンパクト空間の研究とサニャック効果の詳細な分析に基づいています。これは 5分で説明できるような内容ではありません (少なくとも、最初はあまり興味を持たずに細かい詳細をたくさん説明したい場合は)。サニャック効果の研究は、複雑な推論の落とし穴を明確に示しています。複雑な推論は、最終的には非常に単純なものを複雑に見せてしまう可能性があるため、本質的なものを理解する上でほとんど役に立ちません。単純なことを表現するこの複雑な方法は、多くの場合誤解から生じます。それは、ポアンカレ群の作用に関する物理法則の大域的不変性の尊重（ミンコフスキー時空の枠組みでのみ有効）に対する一般性の性質の誤った帰属から生じます。
ランジュバンのパラドックスは、特定の相対性理論愛好家によって、コンパクトな空間では特殊相対性理論がパラドックスにつながると主張するために時々使用されます…もちろん、これは、特殊相対性理論 (特に相対論的効果の対称性) が適用されないため、完全に正常です。
相対性理論の基本を理解していないアマチュアの中には、コンパクトな空間部分の時空と回転する基準系における相対論的効果の非相反性の類似性を見逃してしまったようです。さらに重要なことは、ミンコフスキー計量がハイパートリック静的時空 (コンパクトな空間部分を持つ時空の特殊なケース) のどこでも有効であること、しかしこれが必ずしも特殊相対性理論の適用を可能にするわけではないことを理解していない人もいます (参考文献を参照) ）。
超高静的時空におけるランジュバンのパラドックスの説明に戻りましょう。
アランの場合は問題ありません。彼の推論は正しい。なぜなら、彼は、その計量がミンコフスキー計量であるコンパクトな空間部分の時空に静止しているからである。これは実際、ベルナールが振り返らずにアランに戻ることを除いて、古典的なパラドックスの説明と同じです。古典的な図の代わりに:
我々は持っています：
計算も同じです。
考慮される時空はミンコフスキー時空ではないことを忘れないでください。時間の延長は相互関係ではありません。実際、ここに問題があり、問題が生じます。アランがベルナールから少し離れている限り、時間延長の相反性を適用できるのです。いつから無効になりますか?
答えは簡単です。時間の遅れの見かけの相反性は、ローレンツ不変性 (運動の相対性) に違反する全体的な影響に関する情報が不足しているため、幻想です。宇宙旅行には重要な役割があります。これにより、アランとベルナールは（慣性同期基準フレームの恣意的な選択に頼ることなく）それぞれの老化を直接比較できるようになります。これは、アランの不動慣性座標系の特権的な性質による非対称性を明らかにします。アランは動かずにいるが、再会したときはもちろんバーナードよりも年上だった。
バーナードの速度 v とバーナードが移動する「閉じた」軌道の長さL がわかれば、バーナードの旅の適切な継続時間 T=L/v を楽しく「計算」することができます (この用語は、このような単純な「計算」には少し強力です)。 、その後、ベルナールの旅の間にアランのより顕著な老化が起こります。
宇宙が「閉じている」ことを思い出して、ドップラー効果の角度からこの状況を分析することもできます。バーナードが空間投影(軌道) が長さ L の「閉じた」測地線上を移動し、軌道に沿って両方向に光信号を送信すると、両方の信号を同時に受信しません。信号は時空間内の光測地線に従いますが、そのトポロジーは時空間のトポロジーではありません。
最後に、読者はいくつかの簡単な計算を行って、正しく理解できているかどうかを確認できます。なぜ、この時空で高円性静的時空の最小長の閉じた軌道に沿って回転する質量のない弾性リングのローレンツ収縮によって引き起こされる引張応力を計算してみませんか (これは 1 行もかからない非常に簡単な計算です)。
