プロクラスティアン分析について詳しく解説

導入

統計学において、プロクラスティーン分析は形状を比較するための手法です。これは、許可された変換 (回転、移動、拡大縮小) ができないため、オブジェクトと参照の間の差異のみを残して、(任意の可能性がある) 参照にできるだけ似せるためにオブジェクトを変形するために使用されます。消す。変形により、オブジェクトの固有の形状によるものではない差異が除去されます (ただし、データ収集中に導入されたバイアスなどによるもの)。残ったものは客観的なものとみなされ、対象物と基準物の類似度を評価することが可能になります。

このテクニックは、1962 年にハーリーとキャテルによって、犠牲者をベッドに横たわらせ、ベッドのサイズに合わせて暴力的に身長を変えるギリシャ神話の盗賊プロクルステスにちなんで命名されました。ただし、この技術の理論的核心は 20 年以上前のものです (Mosier、1939)。多くの科学出版物によって改善され洗練されてきた原皮分析は、生物学、考古学、医学など、形状の分析が役立つすべての分野で使用されています。

プロクルステス問題

ギリシャ神話の登場人物、プロクルステスは、犠牲者をベッドに横たわらせ、ベッドより小さい場合は引き伸ばし、大きい場合は斧で突き出た部分を切り取る山賊でした。

形状分析の分野におけるこの物語の科学的バージョンは、研究のために一連の物体から来た犠牲者がその上に横たわる、特性が既知のベッドとしての基準形状を与えることからなる。問題は、ベッドの形状と犠牲者の形状を比較することで構成されていますが、一方が他方の上に横たわることができない限り、困難な作業です。

犠牲者のサイズを変更して問題を解決するために、科学者は実際には斧を使用します。これにより、犠牲者をベッドの中心に移動できるようになります。これにより、犠牲者のサイズが変更され、次のようになります。それはベッドのサイズに等しく、最終的には被害者にとって最も快適な位置を見つける回転に等しくなります。

したがって、斧はオブジェクトの形状を変更できないように見えます (使用されるすべての変換は角度を保持します)。これにより、たとえば生物学において、イルカとネズミの頭蓋骨のサイズの違いや、データのデジタル化の際に生じた違い（位置と向き）を排除することで、これら 2 つの頭蓋骨の形状を比較することが可能になります。測定装置など）。

二次元のイラスト

プロクラステス分析の最初のステップは、調査対象のフォーム内で、調査対象のフォームを要約できる参照点または関心点とみなされる特定の数の点を検索することです。プロクルステス問題の解決を説明するために、図の緑色の四角形の 4 つの点で象徴される被害者のケースを考えてみましょう。被害者は四角いベッド (図の青色) に横たわろうとしています。 1、原点を中心にします。

ここで説明する基本的な方法は、緑色の四角形の平行移動、回転、スケールの 3 つのコンポーネントを削除することで構成されます。操作の順序に関する唯一の制約は、回転を最後に実行する必要があることです。

翻訳コンポーネントの削除

解析対象の形状と参照の両方が原点の中心に配置されます。

考慮される四角形の中心は、参照フレームの原点に位置する参照形状の中心と一致する必要があります。これを行うには、単に緑の四角形の中心の座標を計算します。

$$ {\bar{x} = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4},\quad \bar{y} = \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}} $$

または

は緑色の四角形の 4 つの頂点の座標であり、これらすべての点に変換を適用します。 :

スケールコンポーネントの削除

被害者のサイズを計算するにはさまざまな方法があります (主に、選択したメトリックに依存します)。ここで最もよく使用されるものの 1 つである、分析対象の四角形のサイズを考えてみましょう。

$$ {s=\sqrt{(x_1-\bar{x})^2+(y_1-\bar{y})^2+\cdots+(x_4-\bar{x})^2+(y_4-\bar{y})^2}} $$

これには、参照形状と同じサイズとみなされる形状を与えることが含まれます。これは 1 なので、変換を適用するだけです。

フォームのあらゆる点で。

回転部品の取り外し

最も複雑な最後のステップは、形状を構成する 4 つの点の間で基準形状との差を最適に分散させるために、緑の四角形をどの角度θで回転する必要があるかを見つけることから構成されます。

数学的には、この差は、たとえば最小二乗法を使用してθの関数として最小化される距離 (表面と同様に、選択したメトリックに依存します) によって表されます。

この距離は、最小化されるとプロクラステス距離と呼ばれ、他の標本のプロクラステス距離と比較する場合にのみ重要になります。たとえば、生物学では、頭蓋骨の形状を比較することで、複数の種間の距離を評価することができます。

数学的形式主義

幾何学的形式主義

解析の対象は、次元nのk 個の関心点で構成される形状Vです。

、参照と比較されます 。

形状は等価クラスの一部であり、平行移動、回転、およびスケールのコンポーネントを削除することによって生成されます。

原皮解析が解決する問題は、 Vの平行移動、回転、相似性のみを使用して、 VとLの間の距離を最小化することです。つまり、次のような人を探しています。

$$ {\min_{t \in T}||L-t(V)||} $$

ここで、 T は、平行移動、回転、および相似性 (プロクルステスが斧で実行できる動き) の組み合わせの集合であり、

選択した距離に対応する標準で、多くの場合次のように定義されます。

$$ {P_d^2 = \sum_{j=1}^k((v_{1j}-l_{1j})^2+\cdots+(v_{nj}-l_{nj})^2)} $$

行列形式主義

マトリックス形式主義は、実際には文献で広く普及しているものです (幾何学形式主義は教育的関心だけを持っています)。

幾何学的形式主義の表記法を使用すると、プロクラステスの問題は行列を修正することになります。

次元の （旅行者は）プロクルスティーンのベッドまでの距離を最小限に抑えるため 、サイズも 、別の行列を使用 、プロクラステスに許可された次元の操作の行列 。つまり、次のものを探します。

$$ {\min_T||\mathbf{VT}-\mathbf{L}||} $$

万一に備えて

が現実である場合、問題の解決策は次のように推定されます。

$$ { \mathbf{T} = (\mathbf{V}’\mathbf{V})^{-1}\mathbf{V}’\mathbf{L}} $$