導入
数学、より正確には幾何学において、ポアンカレの一様化定理は、どの曲面も曲率一定のリーマン計量を許容すると述べています。特定のケースとして、単純に接続されたリーマン面が平面、球、または単位円盤と共形全単射であると主張するリーマン一様化定理、および一般化としてグリゴリ・ペレルマンによって 2004 年に実証されたサーストン幾何化予想を見ることができます。
ポアンカレの一様化定理
最も一般的な形式では、ポアンカレの均一化定理は、任意の表面は曲率一定の表面に還元できる、つまり、より正確には次のように述べています。
この結果は、1880 年頃のフェリックス・クラインの研究によって徐々に得られ、次に 1900 年頃のポール・コーベとアンリ・ポアンカレの研究によって得られ、その後ポアンカレは 1907 年に分析関数の標準化に関する論文で一般的な実証を行いました。この定理がクライン・ポアンカレ均一化定理として知られるのはこのためです。
リーマン面の分類
リーマンの一様化定理
リーマン面の研究に進むと、完全な分類を推定することが可能です。実際、特定の配向面上で、リーマン計量は次の方法でほぼ複雑な多様体構造を自然に誘導します。 vが接線ベクトルの場合、次のようになります。 J ( v ) を、 vに直交する同じノルムのベクトルとして定義し、接平面の底面 ( v , J ( v )) が正の方向を向くようにします。表面上のほぼ複雑な構造はどれも統合可能であるため、これにより配向された表面がリーマン表面に変換されます。したがって、前の分類はリーマン面の分類と同等です。任意のリーマン面は、離散部分群の自由で適切な正則作用によるその普遍的被覆の商であり、この普遍的被覆自体は次のいずれかと共形的に等価です。 3 つの正規ドメイン:
- リーマン球
- 複雑な計画
- 複合プランのオープンユニットディスク。
これにより、すべてのリーマン面は、その普遍的な被覆が (それぞれ) 球、平面、または単位円盤のいずれであるかに応じて、楕円、放物線、または双曲面として分類できます。
特に、リーマンの一様化定理(歴史的には共形写像定理から独立して得られたもの) を推定します。
定理—単純に接続されたリーマン面は、次の 3 つの正準領域の 1 つ (および 1 つだけ) に準拠します: 開単位円板、複素平面、およびリーマン球
例
以下のグラフは、マンデルブロ集合とセグメント[−2,2] ( P ( x ) = x 2 − 2に対応するジュリア集合) の補数の標準化に対応します。
これらの場合、リーマンの定理によってその存在が確認される正則全単射を明示的に構築することが可能です。詳細については、「正則ダイナミクス」の記事を参照してください。