凸部の分離 – 定義

導入

同じ平面の 2 つの凸面が交わっていない場合、その平面を 2 つの半平面に分割して、それぞれが凸面の 1 つを完全に含むようにすることが常に可能です。次元3 でも同様で、凸面の分離は平面によって実現されます。より一般的には、超平面 を使用すると、任意の有限次元でも同じことができます。コンパクト性の適切な仮説の下では、2 つの凸面のそれぞれがそれらを分離する超平面から確実に距離を保ったままであることを保証する「厳密な分離」を保証することさえできます。良好な条件下では、無限次元の特定の位相ベクトル空間でも分離を保証できます。

注目に値する特別なケースは、凸面の 1 つに、もう 1 つの凸面の境界上に選択された 1 つの点だけが含まれる場合です。この場合、分離超平面は凸面のサポート超平面と呼ばれます。

問題の位置

私たちは自分自身をアフィン空間E (有限次元)、または上に正規化されたベクトル空間に置きます。

。

E のアフィン超平面 H が与えられると、 Hの方程式として機能する線形形式(乗法因子まで固有) が存在します。つまり、次のような実数c が存在します。

。さらに、 Hが閉じている場合、 f は連続です。次に、 Hによって制限される 2 つの「半スペース」をセットとして定義できます。 そして 。

Eの 2 つの部分AとB が与えられると、 EをHで 2 つの半空間E ₁とE ₂に細分する際に、集合 A とBの一方が E 1 に含まれるとき、 HはAと B を分離すると言います_。もう 1 つはE ₂にあります。この定義(「広義の」意味での分離) では、 AとB がHの点を含むこと、またはH上にある限り互いに出会うことさえ禁止しません。

特定の仮説の下では、より正確な分離結果が得られ、 AとB はH が制限する厳密な半平面内でHの両側にあると結論付けることができます。実際、もう少し改善できる場合があるため、次のような技術的な定義が適用されます。方程式のH は次のようになります。

セットAとBのいずれかが半空間に含まれるようなε > 0が存在する場合、 AとB を厳密に分離します。 もう1つはハーフスペースにあります 。

厳密な分離定理

この結果は「ハーン・バナッハの定理の 2 番目の幾何学的形式」です。

特に重要な用途は、閉じた半空間の交差として閉じた凸面を表現することです。閉じた半空間を交差させると、操作の結果は明らかに閉じた凸面になります (凸面と閉包の両方が交差によって、たとえ無限であっても保持されるため)。逆も真であることがわかります。

デモンストレーションの原則

この定理では、 AとB を隔てる距離dが厳密に正であることにまず気づきます (これは、距離空間内の閉じたものとコンパクトの間の距離に常に当てはまります)。 ε = d / 3と設定し、 A ‘ (それぞれB ‘ )、つまりA (それぞれB ) から距離εにある点のセットを考慮します。これらはまだ凸状ですが開いており、素なままです。これらのオープンスペースに広い意味での分離定理を適用し、最終的に得られた超平面が実際にAとB を厳密に分離していることを難なく検証します。

この結果として、閉じた凸面Cの補数の任意の点x ₀をとります。この定理をCと{ x ₀ }に適用すると、 Cを含むがx _{0 が}属さない閉じた半空間が得られます。これは、 x _{0 が}C を含む閉じた半空間の交点にないことを証明します。このようにして、非自明な包含が証明される。

有限次元では、閉じた凸面での射影定理に頼ることによって、この形式の分離定理を証明することもできます。実際、 Aが閉じていて、 Bがシングルトン ( Aの外部にある点x ₀を含む) である場合、ある点でx _{0 を}Aに投影することによって、それらを分離する超平面を見つけることができます。

次に、それに垂直な超平面を使用します。 この区間の真ん中を通過します。一般的なケースでは、広範な分離定理の証明のように、閉じたA − B を{0}から分離することによって、この特定の状況に戻ります。