ポアソン和の公式 – 定義

導入

ポアソン総和の公式(ポアソン レサムと呼ばれることもあります) は 2 つの無限和の間の恒等式であり、1 つ目は関数fで構築され、2 つ目はそのフーリエ変換で構築されます。

。ここでf は実軸上の関数、より一般的にはn次元ユークリッド空間上の関数です。この公式はSiméon Denis Poissonによって発見されました。

これとその一般化は、数論、調和解析、リーマン幾何学などの数学のいくつかの分野で重要です。 1 次元の式を解釈する 1 つの方法は、円上のラプラス ベルトラミ演算子のスペクトルとこの曲線上の周期測地線の長さとの間の関係として見ることです。セルバーグのトレース公式は、上で引用したすべての分野と関数解析の接点で、ラプラシアン スペクトルと定数をもつ表面上の測地線の長さとの間に、同じタイプの、しかしより深い特徴を持つ関係を確立します。負の曲率( n次元のポアソン公式は、ラプラシアンと、曲率ゼロの空間であるトーラスの周期測地線にリンクされています)。

ポアソン和の公式

評価

または関数

そのフーリエ変換は次のように表されます 、つまり:

$$ { f(x) = {1\over 2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) \ e^{ i x \omega} \ d \omega } $$

、そして

$$ { \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ e^{- i x \omega} \ dx } $$

。

定理

f を複素関数とします。

２回連続微分可能。 fとその最初の 2 つの導関数は次のように仮定します。 可積分であり、推定を満たすこと

$$ {\forall x\in \R,\quad |f(x)|\le \frac{C}{1+x^2}.} $$

a を厳密に正の数とします。基本モードをω ₀ = 2π / aと表します。

fのフーリエ変換。したがって、次の ID が得られます。

$$ { S(t) \equiv \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t + n a) = \frac{1}{a} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \hat{f}(m \omega_0) \ e^{i m \omega_0 t} } $$

。

式のデモンストレーション

ポアソンの和の公式の左側は、一連の連続関数の和です。無限大におけるfの挙動に関して立てられた仮説は、この級数が次の任意のコンパクト [-a,a] に正常に収束することを意味します。

。したがって、その和は連続関数であり、定義式は周期aで周期的であることを示しています。

したがって、そのフーリエ級数の係数を複素指数関数で計算できます。

$$ {c_m=\int_0^a \sum_{n\in\Z} f(t+na)e^{-2\mathrm{i}\pi mt/a}\, dt.} $$

Sを定義する級数の通常の収束により、積分と合計を交換できるため、次のように書くことができます。

$$ {c_m=\sum_{n\in\Z}\int_0^a f(t+na) e^{-2\mathrm{i}\pi mt/a}\, dt.} $$

各積分で変数t + na = sの変更を実行すると、次の結果が得られます。

$$ {c_m=\sum_{n\in\Z}\int_{na}^{(n+1)a} f(s) e^{-2\mathrm{i}\pi m(s-na)/a}\, ds=\hat f(2m\pi/a).} $$

fとその導関数に関する仮説、および導関数のフーリエ変換に関する古典的恒等式によれば、次の関数がわかります。

見積もりを確認する

$$ {\forall \omega\in \R, \quad |\hat f(\omega)|\le \hat C/(1+\omega^2).} $$

。

したがって、一連のcm_は絶対に収束します。 Sのフーリエ級数を合計できる状況にあり、次の結果が得られます。

$$ {S(t)=\frac{1}{a}\sum_{m\in \Z}c_m e^{2\mathrm{i}\pi mt/a}=\frac{1}{a}\sum_{m\in\Z}\hat f(2m\pi/a) e^{2\mathrm{i}\pi mt/a}.} $$

これは、 2π / aをω ₀で置き換えた法を求めた望ましい式です。

代替協定

次の規則を使用すると、次のようになります。

$$ { f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{F}(\omega) \ e^{- \, 2 \pi i x \omega} \ d \omega } $$

、

$$ { \tilde{F}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ e^{+ \, 2 \pi i x \omega} \ dx } $$

、

次に、ポアソンの総和式が書き換えられます (

そして ):

$$ { \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) \ = \ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \tilde{F}(m) } $$

。

収束の条件について

関数に課せられた規則性条件をオーバーライドする実用的な方法

それは、分布理論のより一般的な文脈に自分自身を置くことです。注意すればディラック分布に次の分布を導入すると:

合計を再定式化するエレガントな方法は、次のように言うことです。

は独自のフーリエ変換です。