ゴールドバッハ予想は、数論と数学における最も古い未解決の問題の 1 つです。推測は次のように述べられています。
(同じ素数を 2 回使用できます。素数は定義上、厳密に 1 より大きいことに注意してください。)
例えば、
- 4 = 2 + 2
- 6 = 3 + 3
- 8 = 3 + 5
- 10 = 3 + 7 = 5 + 5
- 12 = 5 + 7
- 14 = 3 + 11 = 7 + 7
- 等
起源
1742 年、プロイセンの数学者クリスチャン ゴルトバッハはスイスの数学者レオンハルト オイラーに手紙を書き、その中で次の予想を提案しました。
- 5 より大きい数値は 3 つの素数の合計として書くことができます。
この問題に興味を持ったオイラーは、予想のより強力なバージョンで答えました。
- 2 より大きい偶数は、2 つの素数の合計として書くことができます。
元の予想は今日弱いゴールドバッハ予想として知られており、次の予想は強いゴールドバッハ予想です。このことはルネ・デカルトに知られていました。 5 より大きい数値は 2 より大きい偶数に 2 または 3 を加算することで得られるため、強いバージョンは弱いバージョンを意味します。
ヒューリスティックな正当化
数学者の大多数は、特に素数の確率分布に焦点を当てた統計的考察において、この予想が正しいと信じています。数値が大きくなるほど、他の 2 つまたは 3 つの数値の合計として表現できる方法が多くなります。 「互換性のある」とは、これらの表現の少なくとも 1 つが完全に素数で構成されているものになります。
ヒューリスティックな確率論的議論 (ゴールドバッハ予想の強い形式) の非常に大まかなバージョンは次のとおりです。 素数定理は、生の方法でランダムに選択された整数mが
- $$ {{1 \over \ln m \ln (n-m)}} $$。
このヒューリスティックな議論は多くの理由により厳密ではありません。たとえば、 mとnmが素数になる可能性は統計的に互いに独立していることが保証されています。しかし、このヒューリスティックな議論に従えば、大きな偶数整数n をおよそ奇数の 2 つの素数の合計として記述する方法の総数が次のようになると期待できます。
- $$ {\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} {1 \over \ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.} $$
nが増加するにつれて、この量は無限大に近づくため、すべての大きな偶数整数が 2 つの素数の和として 1 つの表現だけを持つのではなく、実際にはそのような表現がさらに多くあることが期待できます。
上記のヒューリスティックな議論は、 mとnm が素数である確率の間の相関関係を無視しているため、現時点ではいくぶん不正確です。たとえば、 mが奇数の場合、 nmも奇数であり、奇数の方が偶数よりも素数の候補として適しています。同様に、 n が3 で割り切れ、 m がすでに 3 とは別の素数である場合、 nmも 3 と素数になるため、一般的な数よりも素数として適しています。このタイプの分析をより注意深く追求し、ハーディとリトルウッドは 1923 年に (有名なハーディ-リトルウッドの素数タプル予想から部分的に) 固定c ≥ 2 について、素数の和の形で大きな整数nの表現の数が決まると推測しました。 c
- $$ {(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}) \int_{2 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_c: x_1+\ldots+x_c = n} \frac{dx_1 \ldots dx_{c-1}}{\ln x_1 \ldots \ln x_c}} $$
ここで、積はすべての素数pとγc をカバーします。p ( n ) は方程式の解の数です。
- $$ {2 \Pi_2 (\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}) \int_2^n \frac{dx}{\ln^2 x} \approx 2 \Pi_2 (\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}) \frac{n}{\ln^2 n}} $$
nが偶数の場合、 Π 2 は 双子素数の定数です
- $$ {\Pi_2 = \prod_{p \geq 3} (1 – \frac{1}{(p-1)^2}) = 0,660161858\ldots.} $$
この漸近式は、拡張ゴールドバッハ予想として知られることもあります。強力なゴールドバッハ予想は実際には双子素数予想と非常に似ており、2 つの予想は難易度においてほぼ同等であると認識されています。
研究の状況
この予想は数人の数論者によって研究され、次の数までのすべての偶数についてコンピューターによって検証されています。
任意の偶数は最大 6 つの素数の合計として記述できることがわかっています。 Vinogradov の研究の結果として、十分に大きな偶数は最大 4 つの素数整数の合計として記述できると断言できます。ヴィノグラドフはさらに、ほぼすべての偶数が 2 つの素数の合計として記述できることを示しました (この形式で記述できる偶数の割合は 1 に近づく傾向があるという意味で)。 1966 年、Chen Jing-run は、十分に大きな偶数は、素数と最大 2 つの素因数を持つ数の和として記述できることを示しました。
アポストロス・ドキシアディス著『ペトロスおじさんとゴールドバッハ予想』という本を宣伝するために、英国の出版社トニー・フェイバーは2000年にこの予想の証明に100万ドルの賞金を提供した。賞金を授与できる唯一の条件は、証明が4月までに出版のために提出されることだった。 2002年。賞金は受け取られなかった。
