カシミール演算子 – 定義

導入

数学、より具体的には代数において、カシミール演算子は特別な演算子です。より正確には、非縮退で不変の双一次形式と有限次元表現を備えたリー代数が与えられると、カシミール演算子は表現のベクトル空間上の特定の連続線形マップになります。この演算子は表現と互換性があります。研究したリー代数と表現では、この演算子はラプラシアンの役割を果たします。

カシミール演算子は表現ごとに 1 つありますが、リー代数の包絡代数にはカシミール演算子が 1 つだけあります。すべての表現を決定する一般的な手順がないのと同様に、リー代数に関連付けられたカシミール演算子を決定する一般的な手順はありません。ただし、数(有限または無) とランク(ラカの定理) を決定することはできます。

数学では、カシミール演算子は、単純な代数とリー群だけでなく、代数とリー群の既約表現を決定するのに役立ちました。量子物理学では、カシミール演算子は、波動関数に作用する演算子と、量子数である関連する不変量 (質量、スピン、アイソスピンなど) をよりよく理解するのに役立ちます。

カシミール オペレーターの名前は、1930 年代初頭のローレンツ グループの発見者ヘンドリック カシミールに由来しています。

非縮退かつ不変の双一次形式

どちらか

リー代数、 代数に関連する不変の非縮退双一次形式。の不変性は随伴表現による不変性です

$$ {\forall X,Y,Z \in \mathfrak g \, ,} $$

$$ {\Beta \left( ad_X(Y),Z \right) = – \Beta \left( Y , ad_X(Z) \right)} $$

あるいは

$$ {\forall X,Y,Z \in \mathfrak g \, ,} $$

$$ {\Beta \left( \left[ X,Y \right],Z \right) = – \Beta \left( Y ,\left[ X,Z \right] \right)} $$

連結リー群Gに関連付けられたリー代数の場合、この不変性が作用による不変性と同等であることを (微分によって) 証明します。

代数上の群の：

$$ {\forall g \in G , \forall Y,Z \in \mathfrak g \, ,} $$

$$ {\Beta \left( Ad_g(Y),Ad_g(Z) \right) = \Beta \left( Y , Z \right)} $$

例

• 半単純なリー代数では、使用可能な形式は Killing 形式です。
• コンパクトなリー群Gに関連付けられたリー代数上には、ハール測度を使用して構築された非縮退で不変の双線形形式が存在します。
  $$ {\ \mu} $$
  グループの: スカラー積の使用
  $$ {(~|~)_0} $$
  自明ではない
  $$ {\mathfrak g} $$
  、次の内積が適切です
  $$ {\left( X | Y \right) = \int_G \left( g.X.g^{-1} | g.Y.g^{-1} \right)_0 . \mu (dg)} $$
• On a Lie部分代数
  $$ {\mathfrak g} $$
  の
  $$ {\mathbb M(n,\R)} $$
  のような
  $$ {X \in \mathfrak g \Rightarrow X^T \in \mathfrak g} $$
  、 または
  $$ {\ X^T} $$
  は随伴行列です。
  $$ {B\left( X,Y \right) = tr\left( XY \right)} $$
  。

プロパティ

• 使用されるベースからの独立性: if
  $$ {\ \{ Y_i / i = 1,…,n \}} $$
  のもう一つの基礎です
  $$ {\mathfrak g} $$
  、 それで
  $$ {\Omega_{\rho} = \sum_{i=1}^{n} \rho \left( X^i \right) \rho \left( X_i \right)= \sum_{i=1}^{n} \rho \left( Y^i \right) \rho \left( Y_i \right)} $$
  、基本変更マトリックスを使用して表示されます。
• 表現による切り替え:定義上、それがわかっています
  $$ {\rho : \mathfrak g \to L_{\mathbb C}(V)} $$
  はリー代数射であり、
  $$ {\Omega_{\rho} = \sum_{i=1}^{n} \rho \left( X^i \right) \rho \left( X_i \right) \in L_{\mathbb C}(V)} $$
  。いくつかの代数計算は次のことを示しています
  $$ {\forall X \in \mathfrak g \, ,} $$
  $$ {\left[ \Omega_{\rho} , \rho (X) \right] = 0} $$
• もし
  $$ {\ ( \rho , V )} $$
  表現です
  $$ {\C} $$
  -線形かつ既約
  $$ {\mathfrak g} $$
  、その後、シュールの補題により、次のものが存在すると結論付けることができます。
  $$ {\kappa_{\rho} \in \C} $$
  のような
  $$ {\ \Omega_{\rho} = – \kappa_{\rho} .Id} $$
  。この番号
  $$ {\ \kappa_{\rho}} $$
  物理学では、波動関数に作用するカシミール演算子に関連付けられた量子数です。

定義

どちらか

リー代数の表現 : 。

最初の定義: いずれか

の基礎 、そして私たちは注意します二重の基礎: 。

カシミール演算子は次のように定義されます。

2 番目の定義は、明示的に双対基底を使用していませんが、明示的には双対基底を導入していますが、次のとおりです。

ポーズをとることで

、 そして逆行列の場合、カシミール演算子は次のように定義されます。

3 番目の定義では、最初に Casimir 演算子が導入されます。

リー代数の包絡代数を表現し、その表現に関連付けられた演算子Ω _{ρ を}導入できるようにします。 。

この場合、カシミール演算子は次のように定義されます。

そして、その表現に関連付けられた演算子を見つけます

取ることによって 。