導入
ケプラー運動では、ケプラー方程式は次の方程式によって平均異常 M = nt を偏心異常 E に関連付けます。
- $$ { M = E – e \cdot \sin E} $$
この方程式を解くことは、E(e,M) を見つけることを意味します。
- M の奇数周期関数であるため、フーリエ級数として計算されます。
- e のべき級数として、e < eo := 0.6627… の場合、級数の収束半径。
- 最適化された計算時間tc(d) の桁数(d) の数値として表されます。
フーリエ級数
J n (x) という名前はベッセルという名前に関連付けられていますが、この式を発見したのはラグランジュです。
- EM = M の周期奇関数:
J n (x) は、次数 n の第 1種のベッセル関数です。
EM は周期 2π の連続奇数周期関数であるため、コサイン係数がすべて 0 であるフーリエ級数で展開できます。
と
積分変数 を変更するには、u=sin(E) および dv=sin(pM).dM を設定して部分ごとに積分すると、次が得られます。
コサインの積をコサインの合計に変換すると、次が得られます。
ここで、第 1 種ベッセル関数は次のように表されます。
したがって:
さらに、ベッセル関数は漸化関係を検証します。
したがって最後に:
数値計算
ケプラーの方程式は、関数のゼロを見つけるアルゴリズムを使用して解くことができます。フレーミング、二分法、偽位置法などの方法では、ルートが存在する開始フレームが必要です。ケプラー方程式の周期性とパリティにより、開始間隔を [0; まで短縮することが常に可能です。 π]。これはこれらのメソッドの開始フレームワークを提供しますが、より優れたメソッドを見つけるのは簡単です。
固定小数点タイプの方法では、計算を開始するために、メソッド E 0のシードであるルートの開始推定値が必要です。文献には多くの方法があり、最も単純なものは E 0 =M です。
最も単純な固定小数点法 (Kepler が使用するもの) は次のとおりです。
- $$ { E_0=M~} $$
- $$ {E_{n+1} = E_n + e \cdot \sin E_n \text{ pour } n=0,1\ldots} $$
e が 1 に近い場合、収束は遅くなります。その場合、収束加速アルゴリズム、たとえばエイトケンの Delta-2 や Steffensen のバリアントを追加すると有利です。
ケプラー方程式は、必要な機械計算のコストが低いため、高度に連続する導関数の計算を必要とするアルゴリズムに特に適しています。確かに ：
- $$ { f(E)= E – e \cdot \sin E-M} $$
- $$ { f'(E)= 1 – e \cdot \cos E} $$
- $$ { f”(E)= e \cdot \sin E} $$
- $$ { f”'(E)= e \cdot \cos E} $$
- $$ { \ldots} $$
次の導関数は、前の導関数から循環的に推定されます。したがって、この場合、高次のニュートン法とハレー法の変形は非常に効率的です。これらの方法は、場合によっては収束が困難になる可能性があることに注意してください (e が 1 に近く、M が 0 に近い)。これらの分野では、あまり粗くない開始値を提案するか (Mikkola シード)、反復法を制限して強制的に収束させるか (ニュートン法のハミング修正)、あるいは局所的な収束が少ない反復法を使用する (ラゲール法) ことが望ましいです。 ）。
彗星の場合、バーカー方程式の準放物線一般化を解くと 2 つの問題が生じます。
- 系列の近似計算。多数の項が必要になるか、発散した場合は不可能になる場合があります。このシリーズは、収束加速アルゴリズム、特に収束を加速するだけでなく収束領域を拡張する Peter Wynn の ε アルゴリズムの使用に特に適していることがわかりました。実際には、彗星が近点から非常に離れている場合（その後、長い間見えなかった場合）、または離心率が 1 から大きく異なる場合（この場合、楕円または双曲線のケプラー方程式を解く方が賢明である）、問題が発生します。 ）。
- 方程式そのものを解く。これは、次のようなニュートン タイプの方法を使用して実行できます。
導関数は単純に表現されることに注意してください。
反復の初期値S 0として、カルダン法を使用して (バーカー方程式とはわずかに異なる) 最初の項を保持することによって得られる 3 次方程式の解を選択できます。
