導入
スペクトル幾何学は、リーマン多様体の微分幾何学とラプラス-ベルトラミ演算子のスペクトル理論の交差点にある数学の分野です。より正確には、エッジを持つ (または持たない)コンパクトなリーマン多様体Vのラプラス ベルトラミ演算子の固有値のスペクトルと、この多様体の特定の幾何学的 (および/または位相的) 特性との間の関係を確立することが含まれます。
この理論は、理論物理学、特に量子力学の半古典限界の研究や量子カオスの研究に応用されています。
太鼓の形が聞こえますか？
1966 年、Mark Kac はスペクトル幾何学の典型的な問題を質問の形で合成し、「ドラムの形が聞こえますか?」という質問の形で有名になりました。 」。
先史時代: デバイとワイル (1911)
デバイ
物理学者のピーター・デバイは、ディリクレ境界条件を伴う、辺の長さがそれぞれaおよびbである長方形の「タンバリン」 Ωのヘルムホルツ方程式の固有モードの漸近数に興味を持っていました。
2 次元の問題では正確な解が得られます。
固有値がλ以下であることを確認します。
それらの数は次の場合に漸近します。
優れた物理学者として、デバイは、この公式がコンパクトな平面領域の形状に関係なく真実のままであると推測し、実験がそれを裏付けたようです。
ワイルの定理(1911)
デバイ予想は、1911 年にディリクレ境界条件を伴うラプラシアンについてワイルによって厳密に証明されました。 (結果はノイマン境界条件でも真のままです。)
ワイル予想 (1911 年) & イヴリイの定理 (1980 年)
ワイルはまた、固有値計数関数の漸近展開における次の項がエッジの周囲長を明らかにすると推測しました。
この推測は実際には、任意の次元dに自然に拡張されます。
ここで、 C 1とC 2 は空間の次元dに依存する定数です ( C 2 は境界条件にも依存します)。十分に規則的な境界については、ワイルの予想は 1980 年に V. Ja. によって厳密に証明されました。イヴリイ。
答え: それは状況によります…
カックが質問した直後に、ミルナーは同じスペクトルを持つ、異なる形状を持つ 16 次元トーラスのペアを表示しました。 2 次元の問題は、Gordon、Webb、Wolpert によって 1992 年まで解決されませんでした。彼らは、同じスペクトルを持つ不一致な平面ドメインのペアを構築しました (図を参照)。すべての固有値が同一であるという実証は、これらの領域の対称性の使用に依存しています。このアイデアは、多くの同様の例を構築した Buser らによって一般化されました。
したがって、Kac の質問に対する答えは一般に否定的です。ほとんどのドラムでは、特定の特徴 (面積、周囲、穴の数など) は聞こえますが、その形状を完全に聞くことはできません。
一方、 Zelditch は、境界が解析的な特定の凸面領域に限定すれば、Kac の質問に対する答えは肯定的であることを実証しました。 (分析境界を持つ 2 つの非凸ドメインが同じスペクトルを持つことができるかどうかは不明です。)
ベリー予想 (1979)
フラクタル境界を持つ領域の場合、Berry は 1979 年にエッジ補正が次の値に比例すると推測しました: λ D / 2 ( Dは境界のハウスドルフ次元) 。この予想は J. Brossard と RA Carmona によって反駁され、ハウスドルフ次元を上部ボックス次元に置き換えることを提案しました。この形式では、この予想は 1993 年に境界が次元 1 の平面領域についてラピダスとポメランスによって実証されましたが、高次元については 1996 年に同じ著者によって否定されました。 1993 年に、この予想に対する反例がジャクリーン フレッキンガーとドミトリによって実証されました。 Vassiliev、Transactions AMS V337、N.1、1993 年 5 月、p.99-116「フラクタル ドラムの計数関数の 2 項漸近線の例」。その後、M.Levitin によっていくつかの正確な計算が確立されました。