導入
量子力学では、平均値、または量子期待値は、実験の結果について予測される平均値です。これは、量子物理学のすべての分野の基本概念です。
運用上の定義
量子物理学では、基本的な統計的挙動が示されます。つまり、実験を複数回繰り返した場合、実験測定の結果は一般に同じにはなりません。再現可能な量は、多数回の実験の繰り返しで測定された値の統計的平均にすぎません。量子論は個々の測定結果を予測するのではなく、統計的平均のみを予測します。この予測された平均は、平均値、または量子期待値と呼ばれることもあります。
実験結果の平均値の計算は古典的な統計とまったく同じですが、量子論の形式主義における数学的表現は古典的な測定の概念とは大きく異なります。
一般的な文言
一般に、量子状態は
$$ {\scriptstyle \sigma} $$
は正の線形汎関数で記述され、オブザーバブルのセットで正規化され、数学的には C*-代数として記述されることがよくあります。観測値の平均値
$$ {\scriptstyle A} $$
次に、次によって
与えられます(6)
$$ {\langle A \rangle_\sigma = \sigma(A)} $$
。
オブザーバブルの代数がヒルベルト空間上で還元不可能に作用する場合、および
$$ {\scriptstyle \sigma} $$
は
通常の関数型、つまり
超弱いトポロジーでは連続型です。
$$ { \sigma (\cdot) = \mathrm{Tr} (\rho \; \cdot)} $$
ポジティブトレースクラス演算子を使用した場合
$$ {\scriptstyle \rho} $$
トレース
1の場合、上記の式
(5)が得られます。純正状態の場合は、
$$ {\scriptstyle \rho= |\psi\rangle\langle\psi|} $$
単位
ベクトル上の
プロジェクターです
$$ {\scriptstyle \psi} $$
。それで
$$ {\scriptstyle \sigma = \langle \psi |\cdot \; \psi\rangle} $$
これにより、上記の式
(1)が得られます。
$$ {\scriptstyle A} $$
は
エルミート演算子であると考えられます。一般的な場合、そのスペクトルは
完全に離散的でも完全に連続的でもありません。しかし、私たちは
まだ書くことができます
$$ {\scriptstyle A} $$
スペクトル
分解$$ {A = \int a \, \mathrm{d}P(a)} $$
プロジェクター値測定付き
$$ {\scriptstyle P} $$
。の平均値については、
$$ {\scriptstyle A} $$
純粋な状態で
$$ {\scriptstyle \sigma=\langle\psi | \cdot \, \psi \rangle} $$
$$ {\langle A \rangle_\sigma = \int a \; \mathrm{d} \langle \psi | P(a) \psi\rangle} $$
、
これは、上記の式(2)と(4)の共通の一般化として考えることができます。
有限数の粒子の非相対論的理論 (厳密には量子力学) では、考慮される状態は一般に正規です。しかし、量子論の他の分野では、非正規状態も使用します。これらは、たとえば、無限媒質の量子統計力学では KMS 状態の形で、 場の量子論では荷電状態として現れます。このような場合、平均値はより一般的な式(6)によってのみ決定されます。
量子力学の形式主義
量子論では、実験装置は観測可能なものによって記述されます。
$$ {\scriptstyle A} $$
測定対象と状態
$$ {\scriptstyle \sigma} $$
システムの。の平均値
$$ {\scriptstyle A} $$
州内で
$$ {\scriptstyle \sigma} $$
注目される
$$ {\scriptstyle \langle A \rangle_\sigma.} $$
数学的には、
$$ {\scriptstyle A} $$
はヒルベルト空間上のエルミート演算子です。量子力学ではほとんどの場合、
$$ {\scriptstyle \sigma} $$
正規化されたベクトルで記述される純粋な状態です
$$ {\scriptstyle \psi} $$
ヒルベルト空間の。の平均値
$$ {\scriptstyle A} $$
州内で
$$ {\scriptstyle \psi} $$
は次のように定義されます
(1)
$$ { \langle A \rangle_\psi = \langle \psi | A | \psi \rangle } $$
。
ダイナミクスを考慮すると、ベクトルは時間に依存します。
$$ {\scriptstyle \psi} $$
オペレーターのどちらかが
$$ {\scriptstyle A} $$
シュレーディンガーの表現を使用するか、ハイゼンベルクの表現を使用するかによって異なります。ただし、平均値の時間依存性はこの選択には依存しません。
もし
$$ {\scriptstyle A} $$
完全な固有ベクトル系を持っています
$$ {\scriptstyle \phi_j} $$
、固有値付き
$$ {\scriptstyle a_j} $$
、
(1) を次のように再定式化できます。
(2)
$$ { \langle A \rangle_\psi = \sum_j a_j |\langle \psi | \phi_j \rangle|^2 } $$
。
この式は算術平均に似ており、数学的形式主義の物理的意味を示しています: 固有値
$$ {\scriptstyle a_j} $$
は実験で考えられる結果と、それに影響を与える係数です。
$$ {\scriptstyle |\langle \psi | \phi_j \rangle|^2} $$
これらの結果が発生する確率です。それらは多くの場合、
遷移確率と呼ばれます。
$$ {\scriptstyle \psi} $$
に向かって
$$ {\scriptstyle \phi_j} $$
。
特に単純なケースとしては、
$$ {\scriptstyle A} $$
はプロジェクターであり、その固有値は
0と
1のみです。これは物理的に
「はい」または「いいえ」の経験に対応します。
$$ {\scriptstyle A^2\,=\,A} $$
、その結果は次のように計算できます。
(3)
$$ { \langle A \rangle_\psi = \| A \psi \|^2} $$
。
量子論では、位置演算子など、スペクトルが離散的ではない演算子も使用します。
$$ {\scriptstyle Q} $$
量子力学で。この演算子には固有値はありませんが、完全に連続したスペクトルがあります。この場合、ベクトルは
$$ {\scriptstyle \psi} $$
複素数値関数として記述できます
$$ {\scriptstyle \psi(x)} $$
のスペクトル上で
$$ {\scriptstyle Q} $$
(通常は実数軸)。次に、位置演算子の平均値が書き込まれます。
(4)
$$ { \langle Q \rangle_\psi = \int \, x \, |\psi(x)|^2 \, dx} $$
。
モーメント演算子にも同様の式が有効です
$$ {\scriptstyle P} $$
、連続スペクトルを持つシステムでは。
上記の式はすべて、純粋な状態に対してのみ有効です
$$ {\scriptstyle \sigma} $$
。特に熱力学では
混合状態が重要です。ポジティブ
トレース演算子でそれらを記述します
$$ {\scriptstyle \rho = \sum_i \rho_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |} $$
これを
統計演算子または
密度行列と呼びます。次に、次の形式で平均値を取得できます。
(5)
$$ { \langle A \rangle_\rho = \mathrm{Tr} (\rho A) = \sum_i \rho_i \langle \psi_i | A | \psi_i \rangle = \sum_i \rho_i \langle A \rangle_{\psi_i} } $$
。
