平面波スペクトルについて詳しく解説

導入

平面波ベースでの任意の形状の波の分解は、光学や量子力学などの物理学のさまざまな分野で一般的な操作です。

特定の波源形状では、ホイヘンスの原理を使用して、長距離または非常に長い距離の場を取得します。特定の波面は球状の波源とみなされ、その組み合わせによって必要な位置に場が提供されます。

平面波スペクトル法は、追加の原理を必要とせずに、まったく異なる方法で進められます。これは、伝播されるソースフィールドが平面内で既知である場合に特に効果的であると思われる。

単純な 2 次元フーリエ変換により、3 次元空間の任意の点で有効な解析式が得られます。したがって、数行の計算でフレネルまたはフラウンホッファーの通常の近似が得られますが、さらに、得られた式は近距離場に適していますが、ホイヘンスの原理を使用したアプローチでは得られません。

この方法は、ソースが実際には平面である多くの場合に適用できます。たとえば、フラットスクリーンのソース スロットの場合です。最初の近似として、画面上の入射フィールドがパンチで切り取られます。これは通常行われます。この困難さは別として、これは重要ですが、計算は、該当する場合、ベクトル場の各成分に対して、どのような距離においても有効です。

数学的概要

f を脈動の単色スカラー場とする

、ヘルムホルツ方程式を満たします (シュレーディンガー方程式、または他の伝播方程式や拡散方程式を適応させることができます)。

。

平面波は、この方程式の特別な解です。一般的な解は、ヘルムホルツ方程式の線形性によって、半空間z > 0内のすべての可能な方向に伝播する平面波の重ね合わせとして書くことができます。

仮説により、場f(x,y,z)はz = 0平面で既知であり、この平面上でフーリエ変換を評価します。

。

z次元に位置する平面内の場のフーリエ変換は非常に単純になります。

。

したがって、任意の z 平面で、単純な逆フーリエ変換によってフィールドf(x,y,z)を取得します。

、

それが正確な解決策です。

この式では、高い空間周波数 (

k^{2}” >) は、積分引数の指数関数的な減衰につながります。これらの高い空間周波数は、ソース面の微細な詳細を特徴付けるため、近接場でのみ表示されます。これらの特定の平面波は、エバネッセント波または不均一波と呼ばれます。遠距離では、これらのエバネッセント波の影響は無視できます。これが光学機器の分解能を根本的に制限するものです。つまり、光を発する物体の（波長より小さい特性サイズの）情報が重要になります。したがって、伝播自体により、使用される光の波長よりも小さいサイズの物体の画像を作成することは不可能です。

fフィールドは固定相法を使用して評価できます。この近似は、長距離についてはフレネルの公式 (傾斜係数を含む) につながり、非常に長い距離についてはフラウンホッファーの公式につながります。

たとえば、フラウンホッファー近似の場合、次のことがわかります。

、

x、y、z の振幅はフーリエ変換に比例します。

波数ベクトルの場合 。