有限群の表現理論 – 定義

導入

フェルディナンド・ゲオルグ・フロベニウス、グループ表現理論の創始者。

数学、より正確には群理論において、有限群の表現理論は群表現の特殊なケースです。これは、研究対象の群が有限次数である場合を扱います。

この理論の目的は、有限次元のベクトル空間Vの自己同型の一般線形群であるGL ( V ) に対する有限群の射を研究することです。

この記事は数学的な側面を扱います。要約記事「有限群の表現」が存在します。

一般性

定義

この記事では、 G は次数gの有限群を指します。その中立要素は 1 で示され、 sとt がGの 2 つの要素である場合、 sとtに関する群の内部構成の法則はst で示されます。 Ｖは、 ｇまたはゼロを伴う素数特性のＫで示される体上のｎで示される有限次元のベクトル空間を示す。

• 群Gの表現は、ベクトル空間Vと、G から線形群 GL( V ) への群射 ρ のデータです。表現は ( V , ρ) で表され、場合によっては不適切にVと表されます。

マップ ρ は線形マップの空間内の値を持ち、群の法則を保存します。これは次のプロパティと同等です。

表記 ρ( s )( v ) または_ρs 。 vまたはs 。 v は、ベクトル空間Vの要素vに対する群Gの要素sの作用を指定します。

• この表現は、射 ρ が単射である場合にのみ、忠実であると言われます。

• Vの次元は表現の次数と呼ばれます。

この理論は任意の次元の空間Vに拡張できますが、その場合、 V は無限回繰り返される有限次元の表現の直接和として現れます。このケースは理論的には重要ではありません。

注:これらの表記は、記事の残りの部分でデフォルトで使用されます。

表現と行列

(e _i ) をVの基底とします。基本データにより、 Vの各準同型性a 、次数nの正方行列 (a _ij )、 Vの次元を関連付けることができます。行列の係数は次の等式で与えられます。

前に定義された行列を準同型写像に関連付ける写像は、L のK代数の同型写像です。 _K ( E ) はVの準同型写像の集合であり、 M _n ( K ) では係数を持つ次数nの正方行列の集合です。 Kでこの射は、次数nの可逆正方行列、つまり0以外の行列式を持つ行列のセットに GL( V ) の群同型写像を引き起こします。

R _{s を}ρ _sの行列とすると、次の 2 つの特性が得られます。

逆に、行列R _sと基底のデータは、 VのGの線形表現を定義します。

• 次数nの群Gの行列形式での表現は、画像が等式(i)と(ii)を検証するように、 M _n ( K ) にGを適用したデータです。

表現射

( V , ρ) と ( V’ ,ρ’) を群Gの 2 つの表現とします。

• ( V ‘ ,ρ’) における ( V , ρ) の表現射は、次の性質を満たすV’におけるVの線形写像θ です。

重要なケースは、θ が同型写像である場合、次の定義が生じることです。

• 表現 ( V , ρ) と ( V’ ,ρ’) は、以下の等式を検証するVからV’への同型性 τ が存在する場合に限り、同型または類似していると言われます。

この定義は、行列形式の表現に変換されます。 2 つの行列表現RとR’ は、次のようなn次の可逆正方行列P が存在する場合に限り、同型であると言われます。

一般性を失うことなく、2 つの同型表現を識別することが可能です。特に、2 つの同型表現は同じ次数を持ちます。

• 表現 ( V , ρ) と ( V’ ,ρ’) は、共通の既約成分を持たない場合、または 2 つの表現間にヌル射以外の射が存在しない場合にのみ素であると言われます。