導入
天体物理学では、レーン・エムデン方程式は、状態方程式がポリトロープのものであり、それ自身の重力場の影響を受ける物体の構造を記述します。さらに、オブジェクトは球対称である、つまり、オブジェクト自体の回転によって大きく変形されないと仮定されます。レーン・エムデン方程式により、物体の圧力と密度のプロファイルを決定できるだけでなく、物体が取り得る構成のタイプ (安定または不安定、有限または無限の拡張) を決定することができます。この方程式は、天体物理学者のジョナサン レーンとロバート エムデンにちなんで名付けられました。また、 19世紀末のケルビン卿とA. リッター、そして 1930 年代のラルフ H. ファウラーとスブラマニャン チャンドラセカールもそれに関連しています。後者によれば、この問題に関するリッターの研究はエムデンの研究よりも重要であり、この方程式はレーン・リッター方程式と呼ぶにふさわしいものであるという。
1870 年にこの方程式を最初に提案したのはジョナサン レーンであり、この研究は星の内部構造を初めて研究したものとして紹介されています。
科学的背景
ポリトロープ流体は、ポリトロープ状態方程式によって圧力Pが密度μ に関連付けられている流体です。
- P = κμγ 、
ここで、κ は定数、γ は断熱指数と呼ばれる数値です。実際には、ポリトロピック インデックスn を次のように定義します。
- $$ {\gamma = 1 + \frac{1}{n}} $$。
断熱指数ではなくポリトロープ指数という用語を選択した理由は、実際には、考慮される流体内で熱交換が存在する可能性があるためです（たとえば、星の中心部での核融合反応から生じるエネルギーの流れによる）。
ポリトロープ流体は、天体物理学において重要な役割を果たします。縮退物質、つまり、その圧力がパウリの排他原理によって予測される縮退圧力によって決定される物質は、ポリトロープのように動作します。そのポリトロープ指数は、物質が相対論的であるか非相対論的であるかによって異なります。 -相対論的 (それぞれ 3 と 3/2 の価値があります)。いくつかの種類の星の核は、縮退した物質で構成されていると非常によく近似していると考えられます。白色矮星や中性子星などの星の死骸も同様です。さらに、物質が熱平衡にある状況では、断熱指数が 1 に等しいポリトロープとして見ることができます。このタイプの構成は、天文学の文脈では等温球と呼ばれます。ガス雲の説明とは別に、球状星団の構造も非常に正確に説明されており、実際には星の「等温」「ガス」であると見なすことができます。星は星団の中心からの距離に依存しません。
配合
レーン・エムデン方程式は次のように書くことができます。
- $$ { \frac{\Delta \mu}{\mu} + (\gamma – 2) \left(\frac{\nabla \mu}{\mu}\right)^2 + \frac{4 \pi G}{\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu}} = 0 } $$。
静水圧平衡方程式は書き換えることができます
- $$ {\frac{\nabla P}{\mu} = {\mathbf g}} $$。
圧力は密度の関数であり、圧力勾配は次のように書くことができます。
- $$ {\nabla P = \frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu} \nabla \mu} $$。
代入して発散をとると、次のようになります。
- $$ {\nabla \cdot \left(\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu} \nabla \mu \right) = \nabla \cdot {\mathbf g}} $$。
g場の発散は重力ポテンシャル Φ の関数として表され、それ自体はポアソン方程式を使用することで置き換えることができます。最終的に私たちは見つけます
- $$ {\nabla \cdot \left(\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu} \nabla \mu \right) = – 4 \pi G \mu } $$。
左辺は書き換え可能
- $$ {\nabla \cdot \left(\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu} \nabla \mu \right) = \frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu} \Delta \mu + \nabla \mu \cdot \nabla \left(\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu} \right) } $$。
結局、方程式は書き換えられる
- $$ { \frac{\Delta \mu}{\mu} + \frac{\nabla \mu}{\mu} \cdot \frac{\nabla \left(\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu} \right)}{\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu}} = – \frac{4 \pi G}{\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu}} } $$。
ポリトロープ状態方程式によれば、量は
- $$ {\frac{\nabla \left(\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu} \right)}{\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu}} = (\gamma – 2) \frac{\nabla \mu}{\mu}} $$、
そして最後に
- $$ { \frac{\Delta \mu}{\mu} + (\gamma – 2) \left(\frac{\nabla \mu}{\mu}\right)^2 + \frac{4 \pi G}{\frac{1}{\mu}\frac{{\rm d}P}{{\rm d}\mu}} = 0 } $$。
指数γ が 1 と異なる場合、つまりnが有限である場合、この方程式は次の形式でよりコンパクトかつ洗練された方法で書き直すことができます。
- $$ { \frac{{\rm d}^2\theta}{{\rm d}\xi^2} + \frac{2}{\xi} \frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}\xi} + \theta^n = 0 } $$、
量 θ は次のように定義されます。
- μ = μ c θ n 、
そしてξによる
- $$ {\xi = r \sqrt{\frac{4 \pi G \mu_{\rm c}^2}{(n + 1) P_{\rm c}}}} $$、
r は球面座標における動径座標であり、インデックス c は構成の中心で評価される量を指定します。
圧力に関する項を展開して球面座標に置き、動径座標rに関する導関数を素数で表すと、次のようになります。
- $$ { \frac{\mu”}{\mu} + \frac{2}{r} \frac{\mu’}{\mu} + (\gamma – 2) \left(\frac{\mu_{,r}}{\mu}\right)^2 + \frac{4 \pi G \mu^2}{\gamma P} = 0 } $$。
この方程式には、変数μ を変更することで得られる、より洗練された定式化があります。次のような量 θ を考えると、
- $$ {\mu \propto \theta^n} $$、
次の単純化が得られます。
- $$ { \frac{\theta”}{\theta} + \frac{2}{r} \frac{\theta’}{\theta} + \frac{4 \pi G \mu^2}{n \gamma P} = 0 } $$。
密度と圧力の中心値を指数 c で表し、θ の正規化を次のように定義するとします。
- μ = μ c θ n 、
それから私たちは得ます
- $$ { \theta” + \frac{2}{r} \theta’ + \frac{4 \pi G \mu_{\rm c}^2}{(n + 1) P_{\rm c}} \theta^n = 0 } $$。
最後に、量が
- $$ {\xi = r \sqrt{\frac{4 \pi G \mu_{\rm c}^2}{(n + 1) P_{\rm c}}}} $$。
ξに関する導関数を素数で表すと、最終的に次のようになります。
- $$ { \frac{{\rm d}^2\theta}{{\rm d}\xi^2} + \frac{2}{\xi} \frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}\xi} + \theta^n = 0 } $$、
それも書くことができます
- $$ {\frac{1}{\xi^2} \frac{{\rm d}}{{\rm d}\xi}\left(\xi^2\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}\xi} \right) + \theta^n = 0 } $$、
nが無限(γ = 1) である特殊な場合は、等温球と呼ばれます。これには多くの非典型的な特徴があり、これについては別の記事で説明します。
