スイスの数学者レオンハルト・オイラーによるオイラーの公式は次のように書かれています。
- 任意の実数xに対して、 $$ {e^{ix} = \cos x + i\;\sin x} $$
ここで、 eは対数の自然底、 i は虚数、sin と cos は三角関数です。
説明
この式は次のように解釈できます。
オイラーの公式は、1714 年にロジャー コーツによって初めて (ややあいまいな形で) 実証され、1748 年にオイラーによって再度実証され、普及しました。興味深いことに、これら 2 人の人物のどちらも、この公式の根底にある幾何学的な解釈、つまり幾何学的な点を理解していなかったということは注目に値します。平面上の点の接辞として考えられる複素数の考え方は、約 50 年後に初めて現れました (Caspar Wessel を参照)。
この公式は、分析と三角法の間の強力なつながりを確立します。これは、三角関数形式で複素数を表すために使用され、複素引数の対数の定義を可能にします。指数関数の性質を利用する
- $$ {e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}} $$
そして
- $$ {(e^a)^b = e^{a b} \,} $$
(これらはすべての複素数aおよびbにも当てはまります)、いくつかの三角恒等式を導き出したり、ド モアブルの公式を推定したりすることが簡単になります。オイラーの公式では、コサイン関数とサイン関数を指数関数の唯一のバリエーションとして解釈できます。
- $$ {\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}} $$
- $$ {\sin x = {e^{ix} – e^{-ix} \over 2i}} $$
これらの公式 (オイラー公式とも呼ばれます) は、複素変数xの三角関数の定義として機能します。それらを取得するには、オイラーの公式を導き出すことができます。
- $$ {e^{ix} = \cos x + i \sin x \,} $$
- $$ {e^{-ix} = \cos x – i \sin x \,} $$
そしてコサインかサインを決定します。
微分方程式では、関数は
電気工学やその他の分野では、時間とともに周期的に変化する信号は、サイン関数とコサイン関数の線形結合によって記述されることが多く (フーリエ解析を参照)、後者は、オイラーの関数を使用して、虚数指数を含む指数関数の実部として表現する方が便利です。式。
デモンストレーション
このデモでは、テイラー級数展開とiのいくつかのプロパティを使用します。
実変数xの関数expの級数展開は次のように書くことができます。
- $$ {e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + … = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}} $$
i を指数に注入すると、次のようになります。
- $$ {e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(ix)}^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} i^n} $$
この退廃的な文章を得るために、その用語をグループ化することができます。
- $$ {e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} i^{\,4n} + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i^{\,4n+1} + \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} i^{\,4n+2} + \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i^{\,4n+3} \right)} $$
これを単純化するために、次のiの基本プロパティを使用します。
- $$ {i^0 = 1, \qquad i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1, \ldots} $$
任意の整数指数に一般化すると、すべてのnに対して次のようになります。
- $$ {i^{\,4n} = 1, \qquad i^{\,4n+1} = i, \qquad i^{\,4n+2} = -1, \qquad i^{\,4n+3} = -i} $$
それで、
- $$ {e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i – \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} – \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i \right)} $$
項を並べ替えて合計を 2 つに分割します (2 つの系列が絶対に収束するため、これが可能です)。
- $$ {e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} – \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} \right) + i\,\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} – \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} \right)} $$
もう少し先に進むために、コサイン関数とサイン関数のテイラー級数展開を使用します。
- $$ {\cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + … = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} – \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} \right)} $$
- $$ {\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + … = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} – \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} \right)} $$
前の式のe ix を置き換えると、次のようになります。
- $$ {e^{ix} = \cos x + i\; \sin x} $$
必要に応じて。
この別のデモンストレーションでは微分積分を使用します。
アプリケーションを定義しましょう
- $$ {f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}. \} $$
このアプリケーションは明確に定義されているため、
- $$ {e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1 \} $$
ということを暗示します
アプリ
- $$ {f'(x)\,} $$$$ {= \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} – (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \} $$$$ {= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \} $$$$ {= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \} $$$$ {= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \} $$$$ {= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \} $$$$ {= 0 \} $$
それで、
- $$ {f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1} $$$$ {\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1} $$$$ {\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}} $$
歴史的
オイラーの公式は、1714 年にロジャー コーツによって ln(cos( x ) + i sin( x )) = ix (ln は自然対数、つまり Log Basic e を表します) という形式で最初に実証されました[ 1 ] 。 2 つの級数間の等価性の証明に基づいて、1748 年に現在の形式で公式を発表したのはオイラーでした。どちらの数学者も、式の幾何学的解釈を与えませんでした。複素数を平面上の点として解釈することは、50 年後まで実際に議論されませんでした。 (カスパー・ウェッセルを参照)。
