連続体理論の基本概念 – 定義

導入

この記事では、連続体理論の基本概念について説明します。

ウィキペディアの記事の多くは、力学、流体力学、弾性、レオロジー、電磁気学などの物理学のさまざまな分野の文脈で連続メディアを扱っています。この記事の目的は、これらすべての分野に共通する基本概念を特定し、これらすべての分野を同時に使用する科学である地球力学の枠組みにそれを位置づけることです。

連続体の概念とラグランジュ記述

地球力学の問題では、一般に、境界面によって分離された物質で連続的に満たされた隣接するボリュームのシステムとして扱われます。このような現象学的アプローチでは、物質の原子および分子の構造は考慮されておらず、たとえば、各質点が十分な数の原子または分子で構成されていると仮定して、巨視的な特性をこの点に関連付けるという事実に意味を与えます。温度、圧力、位置、速度など。統計物理学の意味での平均を表します。数学的な意味では、質点 (私たちはまだ「粒子」と呼んでいます) は、各瞬間に空間内の特定の点と一致するのに十分小さくなければなりません。このような空間内の点は、空間内の拡張がなく、それ自体は物理的属性を持たない、純粋に幾何学的な実体です。 したがって、空間内の任意の点における連続媒体(または専門用語で「連続体」) の特性を考慮すると、次のようになります。検討した瞬間に空間内のこの点と一致する質点に付随する特性を指します。

連続体は空間内の質点の可算集合であり、この集合の任意の要素の任意の小さな近傍を考慮すると、この近傍には同じ連続体に属する少なくとも 1 つの他の質点が存在します。変形可能な連続体の運動は、そのすべての質点のそれぞれの運動に関してのみ完全に指定されます。一般に、質点のサブセットの動きは、変形可能な連続媒体の全体的な動きを完全には記述しません。

したがって、連続体の点をリストする何らかの方法、つまり名前を付ける方法を見つけて、それらを個別化する必要があります。この目標は、ラグランジュ記述によって達成されます。この記述では、時間 t = t _oを基準としたときの位置 ξ = ξ ⁱ g _i (またはその既知の関数) を使用して、さまざまな質点がリストされます。ほとんどの場合、それは初期瞬間 t = 0 です。 g _{i は}、ここでは物理空間 E ₃で定義された共変基底ベクトルであり、変形されていない初期状態の計量に属し、反変成分 ξ ⁱ (i=1、 2,3) 任意の質点 ξ を完全に指定します。この記事では、繰り返しインデックスに関するアインシュタインの合計ルールが使用されていることに注意してください。任意の瞬間 t における質点 ξ の位置は、変形されていない基底ではx = x ⁱ (ξ,t) g _iによって、またはベクトル形式ではx = x (ξ,t) によって提供されます。この関係は、（離散）点系の力学に使用される用語と完全に一致して、連続媒体の運動法則と呼ばれます。したがって、ラグランジュ法では、4 つの独立変数 ξ ¹ 、ξ 2 、ξ 3 、 t を使用して、動き、特に連続体の変形を記述します。一方、点系のニュートン力学では、時間t という 1 つの独立変数のみを使用します。

連続媒体理論の背後にある数学的考え方は、連続体の動きは点変換として考えることができるということを理解することが重要です。相転移などの特異点を引き起こす臨界現象が存在しない場合、変換則は二一義的であり、2 つの異なる質点が「空間」の同じ点を同時に占有することはできないという事実を表します。この結果、ヤコビアン行列式は厳密に正であり、運動法則は逆転可能です。

言い換えれば、すべてのボリュームは別のボリュームに、すべてのサーフェスは別のサーフェスに、すべての曲線は別の曲線に変換されます。さらに、同じ連続体に属する 2 つの質点は、ある時点で互いに無限に接近しており、次回も互いに無限に接近したままであると一般に想定できます。これは、変数 ξ ¹ 、ξ 2 、ξ 3 、 t に関するxの偏導関数の連続性を意味します。この連続性の仮説によれば、変形中に閉じた曲面は閉じたままとなり、同様に、閉じた曲線も閉じたままになります。