デカルト積について詳しく解説

数学では、2 つの集合XとYのデカルト積はすべてのペアの集合であり、その最初の成分はXに属し、2 番目の成分はYに属します。バイナリデカルト積の概念を有限デカルト積の概念に簡単に一般化します。これは、多重項の集合であり、 n集合のデカルト積の要素をn タプルと呼びます。素（またはデカルト）合計の概念を導入することもできます。無限のデカルト積、つまり任意の (おそらく無限の) 集合族の積に一般化するには、関数の概念が必要です。

デカルト積は、解析幾何学を作成する際に、現在私たちが呼んでいるものを最初に使用したルネ デカルトにちなんで名付けられました。

2 つの集合のデカルト積

意味

任意のセットAと任意のセットBには、最初のコンポーネントがAに属し、 2 番目のコンポーネントがBに属するペアを要素とする一意のセットが存在します。

$$ {\forall A \; \forall B \; \exists! P\;\forall x \; \forall y \;[( x \in A \wedge y \in B ) \Leftrightarrow ( x , y ) \in P]} $$

この集合は「 A x B 」（「A クロス B」と読みます）と表され、 A × Bのデカルト積と呼ばれます。

デカルト対と積を原始的な概念として考えると、この存在と一意性の性質が公理として得られます。これは、選択されたカップルの表現について、集合論で実証されます。

例

Aが集合 { A、R、D、V、10、9、8、7、6、5、4、3、2 }、B が集合 { スペード、ハート、ダイヤ、クラブ} の場合、デカルト積はこれら 2 つのセットのうち、52 個の要素を含む次のセットは次のとおりです。

{ (A、スペード)、(R、スペード)、… (2、スペード)、(A、ハート)、… (3、クラブ)、(2、クラブ) }。

プロパティ

• 定義により、空集合による集合のデカルト積は空集合と等しくなります。

$$ {\forall\ A ,\ \varnothing \times A = A \times \varnothing = \varnothing \,} $$

• AとBが有限基数の場合、 A x Bの基数はAとBの基数の積に等しくなります。

• 一般に、 B x A ≠ A x Bです。より正確には:

• A x AはA ² (「A の 2 乗」と読みます) と表され、 Aのデカルト2 乗と呼ばれます。

$$ {A^2 = \{ ( x, y ) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \}} $$

A ^{2 を}Aの対角線であるΔ A (「デルタ A」と読みます) と混同しないでください。

$$ {\Delta A = \{ ( x, x ) | x \in A \}} $$

注: セットの対角線は、このセットが空であるかシングルトンに縮小された場合に限り、そのデカルト正方形とマージされます。

• デカルト積の部分集合はグラフと呼ばれます。

集合論における表現

集合論では、いつものようにクラトフスキー対の表現を選択すると、最初の成分がAにあり、2 番目の成分がBにあるカップルは、次の要素になります。

したがって、理解することでデカルト積を定義できます。当然ペアが必要になります。したがって、理解するには、前の公理に加えて、ペア公理と公理の図が必要になります。

$$ {A \times B = \left \{ (a, b)| ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \right \}=\left \{z\in \mathfrak P(\mathfrak P(A\cup B))|\exists a \in A\; \exists b \in B\ z = (a,b) \right\}} $$

3 つ以上のセットへの一般化

三つ子

カップルと同様に、重要なことはその基本的な特性です。2 つのトリプルは、最初の成分が互いに等しい場合にのみ等しく、次に 2 番目の成分、そして最後に 3 番目の成分が等しい場合にのみ等しくなります。

$$ {\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]} $$

ここでも、この特性はトリプレットの概念を定義するのに十分ではなく、ここでも、いくつかの相互に互換性のない定義が事前に可能です。私たちは通常次のように尋ねます。

$$ {\forall a , \forall b , \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )} $$

3 集合のデカルト積

これは次のように定義されます。

$$ {A \times B \times C = \left \{ ( a, b, c ) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \wedge ( c \in C ) \right \}} $$

上記より、 A x B x C = ( A x B ) x Cとなります。ここでも用語の順序が重要です。積A x A x AはAのデカルト 3乗と呼ばれ、 A ³ (「A 3 乗」と読みます) と表されます。

$$ {A^{3} = \{ ( x, y , z) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \wedge ( z \in A ) \}} $$

マルチプレット

前述の定義は、再帰的に一般化されます。

• 次数nの多重項、またはn -tupleの基本特性:

$$ {\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots , \forall a_{n} , \forall b_{1} , \forall b_{2} , \cdots , \forall b_{n} ,} $$

$$ {[\, ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n} ) = ( b_{1} , b_{2} , \cdots b_{n} ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_{1} = b_{1} ) \wedge ( a_{2} = b_{2} ) \wedge \cdots ( a_{n} = b_{n} ) \,]} $$

• nタプルの定義:

$$ {\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots \forall a_{n} , ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} , a_{n} ) = ( ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} ) , a_{n} )} $$

• n集合のデカルト積:

$$ {A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} \times A_{n} = ( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} ) \times A_{n}} $$

• デカルトべき集合のn番目:

$$ {A^{n} = A^{n-1} \times A = \prod_{i=1}^n A = \{ ( x_1 , x_2 , \cdots x_n ) | \,\forall i , x_i \in A \,\}} $$

注: 無限のデカルト積を定義できます (以下を参照) が、そのためには関数の概念が必要です。

互いに素な合計

集合A ∪ Bの和集合では、そこに現れる要素の起源が失われます。この情報の損失を回避する 1 つの方法は、開始セットを直接結合するのではなく、これらのセットのコピーを { α } × Aおよび { β } × Bの形式で結合することです。ここで、「α」と「β」は任意の 2 つの異なるものです。セットAとB を識別するために使用される記号 (たとえば、「Ø」と「{ Ø }」、または「0」と「1」)。

したがって、2 つの集合AおよびBの素和和またはデカルト和とも呼ばれる素和集合は、次のように定義されます。

$$ {A + B = A \dot \cup B = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B )} $$

2 つのセットの素の和もカップルの基本的な性質を満たすことに気づくことができます。さらに、クラトフスキー夫婦とは異なり、基本的な集合演算のみを使用するこの概念は、適切なクラスに適用できます。これが、互いに素な合計が一般化ペアと呼ばれることがあり、クラス理論で使用される理由です。

素の合計は 3 つ以上のセットに一般化できます。たとえば、任意の 3 つのセットA 、 B 、およびCの場合、次のようになります。

$$ {A\dot \cup B \dot \cup C = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B ) \cup ( \{ 2 \} \times C )} $$

ノイマン 2 整数は {Ø, {Ø}} として定義できることを思い出してください。より一般的には、フォン・ノイマン整数nが定義され、フォン・ノイマン整数n +1 はn +1 = n ∪ { n } によって定義されます。

したがって、上記を一般化して、n 個のセットの素の合計を定義できます。

$$ {A_0 \dot\cup A_1 \dot\cup\cdots\dot\cup A_{n-1} = \bigcup_{i=0}^{n-1}(\{i\}\times A_i)} $$

一方、素和のこの定義では、メタ言語の整数ではなく、集合論の整数が使用されます。したがって、この概念を任意のインデックスのセット (必ずしも有限である必要はない)、たとえば可算の素の会議などに一般化することもできます。

無限の製品

デカルト積の概念を、有限または無限の任意の集合によってインデックス付けされた集合の集合の積の概念に一般化できます。

より一般的ではありますが、この概念は少なくとも当然のことながら、バイナリ デカルト積の概念よりも先に集合論に導入することはできません。関数の概念に訴えかけ、関数はカップルの概念を正確に使用し、したがって積バイナリ デカルト積の概念を使用するからです。 ^{[ 1 ]}

セットのファミリー

セットIによってインデックス付けされたセットのファミリーAは、 I上で定義された関数です。 Aによるiの画像をA _iで表す。これは、既知の構造を (特定の用途に合わせて) 表記したものにすぎません。

• Iによってインデックス付けされたファミリーAは、代わりに {A _i } _i∈Iと表されます。集合論の意味では、族 {A _i } _{i∈I は}、そのグラフ、つまり i ∈ I のペア (i, A _i ) の集合に同化できます。

• しかし、家族の再会{A _i } _i∈Iは、次のように表されます。
  $$ {\bigcup_{i \in I}\, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,} $$
  、厳密な意味でのカップル (i, A _i ) であるグラフとしての家族の要素の結合ではなく、関数としての家族のイメージA _iの結合を明確に指定します。

集合族のデカルト積

これで、集合 { A _i } _i∈Iの族のデカルト積を定義できるようになりました。これは通常、次のように表されます。

これは、家族の再会におけるIの関数fの集合であり、 Iのすべてのiについて、 f ( i )がA _iに属します。

$$ {\prod_{i \in I} A_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i \ |\ \forall\ i , \, f(i) \in A_i \} \,} $$

• この定義を使用するには、積の要素からそのインデックス コンポーネントj 、つまりIの要素を抽出できなければなりません。

これを行うには、 Iのすべてのjに対して、 j番目の投影 と呼ばれる関数を定義します。

$$ {\pi_{j} : \prod_{i \in I} A_i \to A_{j},} $$

による ：

$$ {\pi_{j}(f) = f(j)\,} $$

。

• 選択公理は次のように述べることができます:空でない集合の積は、空ではありません。

注意事項