導入
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運動学: 動径ベクトルとその連続導関数
デカルト座標で
- $$ {symbol r =x symbol u_x + y symbol u_y + z symbol u_z} $$
- $$ {symbol v (symbol r) =\frac{ \text{d} symbol r}{ \text{d} t }=\frac{\text{d} x}{\text{d} t} symbol u_x + \frac{\text{d} y}{\text{d} t} symbol u_y + \frac{\text{d} z}{\text{d} t} symbol u_z} $$、
そして加速
- $$ {symbol a(symbol r)=\frac{\text{d} symbol v}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 symbol r}{\text{d} t^2}=\frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2} symbol u_x + \frac{\text{d}^2 y}{\text{d} t^2} symbol u_y + \frac{\text{d}^2 z}{\text{d} t^2} symbol u_z} $$。
円筒座標で
- $$ {symbol r=\rho symbol u_\rho+z symbol u_z} $$
- $$ {symbol v=\frac{\text{d} symbol r}{\text{d} t}= \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} symbol u_\rho+\rho\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} symbol u_\varphi +\frac{\text{d} z}{\text{d}t} symbol u_z} $$。
- $$ { symbol a =\frac{\text{d} symbol v}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 symbol r}{\text{d}t^2}=\left(\frac{\text{d}^2 \rho}{\text{d} t^2}-\rho\left(\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\right)^2\right) symbol u_\rho+\left(2\frac{\text{d} \rho}{\text{d} t}\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}+\rho\frac{\text{d}^2 \phi}{\text{d}t^2}\right) symbol u_\varphi+\frac{\text{d}^2 z}{\text{d}t^2} symbol u_z} $$。
これらの式は、基底ベクトルのうちの 2 つの時間導関数がゼロではないという事実に基づいています。
- $$ { \frac{\text{d} symbol u_\rho}{\text{d} t}=\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} symbol u_\varphi} $$、
- $$ { \frac{\text{d} symbol u_\varphi}{\text{d} t}=-\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} symbol u_\rho} $$。
球面座標では
- $$ {symbol r=r symbol u_r} $$、
- $$ {symbol v =\frac{\text{d} symbol r}{\text{d} t}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t} symbol u_r+r\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t} symbol u_\theta+r \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin \theta symbol u_\varphi} $$;
- $$ {symbol a =\frac{\text{d} symbol v }{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 symbol r}{\text{d}t^2}=a_r symbol u_r+a_\theta symbol u_\theta+a_\varphi symbol u_\varphi} $$、
と：
- $$ {a_r=\left(\frac{\text{d}^2r}{\text{d}t^2}-r\left(\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\right)^2+r\left(\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\right)^2\sin^2\theta\right)} $$、
- $$ {a_\theta=\left( r \frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d}t^2} +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}-r\left( \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \right)^2\sin \theta \cos \theta\right)} $$
- $$ {a_\varphi=\left( r \frac{\text{d}^2 \varphi}{\text{d}t^2}\sin \theta +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\sin \theta + 2r\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\cos \theta\right)} $$。
動的
いくつかの強み
- 重さ ：
- $$ {symbol P =m symbol g} $$
- 電磁相互作用:
- $$ { symbol F_{1\rightarrow 2}= \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0} \frac{symbol r_2 – symbol r_1}{|symbol r_2 – symbol r_1|^3}} $$
- 重力相互作用:
- $$ { symbol F_{1\rightarrow 2}= -G m_1 m_2 \frac{symbol r_2 – symbol r_1}{|symbol r_2 – symbol r_1|^3}} $$
- 剛性kと伸びuのばねの張力：
- $$ { symbol F = – k symbol u} $$
- 滑らかな摩擦：
- $$ {symbol F = -\lambda symbol v} $$
- 駆動慣性力：
- $$ {symbol f_{\rm i_e}= – m symbol a_e} $$
- コリオリの慣性力:
- $$ {symbol f_{\rm i_c}=-m symbol a_c} $$
力学の基本原理
- 運動量ベクトル:
- $$ { symbol p = m symbol v} $$（一般的に）
- 力学の基本原理:
- $$ { \frac{\text{d} symbol p}{\text{d}t}= \sum symbol F \; +symbol f_{\rm i_e} + symbol f_{\rm i_c}} $$
- 相互作用の原理: 2 つの物体AとBの場合、
- $$ {symbol F_{A \rightarrow B} = – symbol F_{B \rightarrow A}} $$
参照先の変更
基準系内の動径ベクトルrの点を考えます。
$$ {\mathcal R} $$
。または別の参照フレーム、 $$ {\mathcal R} $$
‘、その原点はベクトル半径sにあります。 $$ {\mathcal R} $$
。点の半径ベクトル。次のように決定されます。 $$ {\mathcal R} $$
「それでは」 - $$ {symbol r’ = symbol r – symbol s} $$。
点速度は次の単位で測定できます。
$$ {\mathcal R} $$
またはで$$ {\mathcal R} $$
‘。それらはインデックスで示されています$$ {\mathcal R} $$
または$$ {\mathcal R} $$
‘、加速度も同様です。- トレーニング速度:
- $$ {symbol v_{\rm e} = \dot symbol s_{\mathcal R} + symbol \Omega \wedge symbol r’} $$
- 速度の合成の法則:
- $$ {symbol v_{\mathcal R} = symbol v’_{\mathcal R’} + symbol v_{\rm e} } $$
- トレーニングの加速:
- $$ {symbol a_{\rm e} = \ddot symbol s_{\mathcal R} + \dot symbol \Omega \wedge symbol r’ + symbol \Omega \wedge (symbol \Omega \wedge symbol r’)} $$
- コリオリ加速度:
- $$ {symbol a_{\rm c} = 2 symbol \Omega \wedge \dot symbol r’_{\mathcal R’}} $$
- 加速度の合成法則:
- $$ {symbol a_{\mathcal R} = symbol a’_{\mathcal R’} + symbol a_{\rm e} + symbol a_{\rm c} } $$
モーメントの概念
- 点r’に対する点rの角運動量：
- 別の点r”と比較すると、次のようになります。
- $$ {symbol L_{symbol r”}(symbol r)= (symbol r – symbol r”) \wedge m symbol v(symbol r) = symbol L_{symbol r’}(symbol r) + m (symbol r’ – symbol r”) \wedge symbol v(symbol r)} $$
- 半径ベクトルr’の点における力Fのモーメント：
- $$ {symbol M_{symbol r’} = (symbol r – symbol r’) symbol F} $$
- 別の点r”と比較すると、次のようになります。
- $$ {symbol M_{symbol r”}(symbol r)= symbol M_{symbol r’}(symbol r) + (symbol r’ – symbol r”) \wedge symbol F} $$
- 角運動量定理:
- $$ { \frac{\text{d} symbol L_{symbol r’}}{\text{d} t}=\sum symbol M_{symbol r’} (symbol F)\;+symbol M_{symbol r’}(symbol f_{\rm i_e})+ symbol M_{symbol r’}(symbol f_{\rm i_c})} $$。
エネルギー面
- 変位d r中の力Fの初等仕事：
- $$ {\delta W =symbol F \cdot\text{d} symbol r} $$
- パスΓ A Bに沿って作業する:
- $$ {\displaystyle W_{A \rightarrow B}=\int_{symbol r \in \Gamma_{AB}} \delta W(symbol r)=\int_{symbol r \in \Gamma_{AB}} symbol F \cdot\text{d} symbol l(symbol r)} $$
- 力 ：
- $$ {\mathcal{P}=\displaystyle \frac{\delta W}{\text{d} t}} $$
- 力は、点 M に加えられる力と点の速度のスカラー積として定義することもできます。
- $$ {\mathcal{P}= symbol F \cdot symbol v} $$
- 物質点の運動エネルギー:
- $$ {E_{\rm c} =\displaystyle \frac{1}{2}m |symbol v|^2} $$
- 運動エネルギー定理:
- $$ {\displaystyle \Delta E_{\rm c}=\sum W(symbol F)\;+W( symbol f_{\rm i_e})+W(symbol {f}_{\rm i_c})} $$
- 機械エネルギー:
- E m = E c + E p
一部の保守勢力の位置エネルギー
これらのエネルギーはそれぞれ、最も近い定数に定義されます。
- 重力：
- E p = mg z
- 春 ：
- $$ {E_{\rm p} = \frac{1}{2}k |symbol u|^2} $$
- クーロン力:
- $$ {E_{\rm p} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{|symbol r_1 – symbol r_2|}} $$
- 重力：
- $$ {E_{\rm p} = -\frac{G m_1m_2}{|symbol r_1 – symbol r_2|}} $$
発振器
調和発振器（ダンピングなし）
- 次の形式の微分方程式:
- $$ { \frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+\omega_0^2 u=0} $$。
- きれいな脈動:
- $$ {\omega_0=\frac{k}{m}} $$
- 自身の時代：
- $$ {T_0=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}} $$
- 解決策の形式:
- u ( t ) = A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t ) 。
定数AとB は初期条件によって決まります。
減衰係数λの発振器
- 次の形式の微分方程式:
- $$ {\frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+2\lambda\frac{\text{d} u}{\text{d} t}+\omega_0^2 u=0 } $$
- 特性方程式の判別式の値に応じた 3 つのケース:
- $$ {\Delta=4(\lambda^2-\omega_0^2)} $$
- Δ < 0 、つまりλ < ω 0の場合、
- （擬似定期食）
- 擬似脈動:
- $$ {\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}} $$;
- 擬似期間:
- $$ {T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}} $$
- Δ = 0 、またはλ = ω 0の場合、
- x ( t ) = ( A t + B ) e − λ t (臨界領域)
- Δ > 0 、つまりλ > ω 0の場合
- $$ {x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t}+Be^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t})} $$(非周期的体制)
- いずれの場合も、定数AとB は初期条件によって決まります。