導入
ワニエ関数は、固体物理学で使用される直交関数の完全なセットを構成します。それらはスイスの物理学者グレゴリー・ワニエによってこの分野に導入されました。
結晶格子内の異なるサイトのワニエ関数は直交しており、特定の領域での電子状態の発展にアドホックな基盤を提供します。これらの関数は、電子に作用する結合力の分析など、さまざまで重要な用途に使用されます。少なくとも絶縁体の場合、それらは一般に局所的であることが証明されています。これらの関数は、特に励起子とリュードベリ凝縮体の分析にも使用されます。
意味
ワニエ関数はさまざまな方法で選択できますが、固体物理学における最も単純で最も一般的な定義は、次のような元の定義です。
完全な結晶のバンドを選択し、そのブロッホ状態を次のように書きます。
- $$ {\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})} $$
または
- $$ {\phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})} $$、
その中で:
- Rは結晶格子のベクトルです (これは、これらのベクトルのそれぞれにワニエ関数が存在することを意味します)。
- N は結晶内の原始セルの数です。
- kの合計には、結晶の境界における周期条件と一致するブリルアン ゾーン (または逆数ネットワークの他のプリミティブ セル) のkのすべての値が含まれます。これには、ブリルアン ゾーンに規則的に分布するN 個の異なるk値が含まれます。 N は通常非常に大きいため、合計は置換規則に従って整数として書くことができます。
- $$ {\sum_{\mathbf{k}} = \frac{N}{\Omega}\int_{BZ}d^3\mathbf{k}} $$、
- ここで、 BZ は体積Ωのブリルアン ゾーンを示します。
ワニエ関数は、ブロッホ関数への強い接続近似の拡張として考えることができます。縮退波動関数は次のブロッホ条件を満たします。ここで、 k はボルン・フォンと互換性のあるブリルアンの最初のゾーンのN値を通過します。カルマン境界条件。その後、強結合近似のフレームワークで正しく記述されているかどうかに関係なく、すべてのバンドに対してワニエ関数を定義できます。しかし、我々が記述しようとしているバンドが狭くて強い結合バンドではない場合、対応するワニエ関数は孤立した原子の電子波動関数と同様の形状を示さなくなります。
アプリケーション
現代の分極理論への応用
ワニエ関数は、最近、結晶 (強誘電体材料など) の分極の説明に適用されています。特に、 David Vanderbiltによるこの主題に関する序論を参照してください。
固体内の単位セルあたりの分極は、ワニエ電荷密度の双極子モーメントとして定義できます。
- $$ {symbol{p_c} = -e \sum_n \int\ d^3 r \,\, symbol r |W_n(symbol{r})|^2 \ , } $$
ここで、積分は占有帯域上で行われ、 W n は帯域nのメッシュ内に位置するワニエ関数です。連続的な物理プロセス中の偏光の変化は、偏光の時間微分によって得られ、占有されたブロッホ状態のベリー位相の観点から定式化することもできます。