相対論的計算について詳しく解説

導入

この記事は、ローレンツ変換を計算することによって本質的なことが推定できることを示すために、意図的に計算的であることを目的としています。

アインシュタイン以前

アインシュタインと

素粒子物理学では

メタ

ローレンツ変換

2 つの基準枠があるとします

そして軸Ｏｘに沿った相対速度ｖで、平行軸上で相互に直線移動する。最初の参照フレームから 2 番目の参照フレームに移動すると、座標はローレンツ変換によってリンクされます。

$$ { x’ = \gamma (x – vt) \qquad y’ = y \qquad z’ = z \qquad t’ = \gamma (t – \frac{vx}{c^2}) } $$

と

$$ {\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2}}} $$

そして

$$ {\beta = \frac{v}{c}} $$

逆変換

R’ の座標の関数として R の座標を与えるものは、2 つの未知数を持つ 2 つの方程式系を解くことによって推定されます。 速度の符号を変えるだけです。

$$ { x’ = \gamma (x – vt) \qquad y’ = y \qquad z’ = z \qquad t’ = \gamma (t – \frac{vx}{c^2}) } $$

$$ { \qquad x = \gamma (x’ + vt’) \qquad y = y’ \qquad z = z’ \qquad t = \gamma (t’ + \frac{vx’}{c^2}) } $$

したがって、行列を書くと次のようになります。

$$ {\begin{pmatrix} ct’\\x’\\y’\\z’\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta& 0 & 0\\ -\gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix}} $$

そしてその逆も同様です:

$$ {\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & +\gamma\beta& 0 & 0\\ +\gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} ct’\\x’\\y’\\z’\\\end{pmatrix}} $$

これは、ローレンツ変換を記述する行列の方法です。

x’ と t’ を、x と t に関する上記の式に置き換えると、x = x および t = t が得られることがわかります。これは、上の式が一方の逆であることを意味します。数学者はこれを、この性質はローレンツ変換が群を形成するために必要な性質の 1 つであり、その主な結果は 2 つのローレンツ変換の合成がローレンツ変換であると表現して表現します。速度の構成に関連する段落で、ローレンツ群の使用を見ていきます。

ほとんどすべてがローレンツ変換から推定されます。これは、特殊相対性理論では、定性的推論を実行するよりも計算結果を信頼する方が良いことを意味します。上記の変換は、通常の速度に対するGalileoの変換と同じですが、基準系に依存するため、世界時の概念が破壊されます。つまり、位置が変化すると時間も変化します。時間は物理法則を表す座標であり、これらは 4 次元空間 ( ct , x , y , z ) で表すと共変になります。ここで t を ct に置き換えることにより、時間の単位が秒ではなくメートルになるように変換されるだけです。

以下では、結果を推定できる計算のページを作成します。

擬似標準

私たちは、時空間の 4 次元座標系におけるベクトルの座標によってイベントを識別します。

次のことが簡単にわかります。

$$ { \mathbf{r^2}=c^2t^2 – \vec r^2=c^2t^2 – (x^2+y^2+z^2)=c^2t’^2 – (x’^2+y’^2+z’^2)=c^2t’^2 – \vec{r’}^2=\mathbf{r’^2}} $$

確かに ：

$$ { \left(\gamma(ct’+\beta x’)\right)^2 – (\left(\gamma(x’+\beta ct’)\right)^2+y’^2+z’^2)=(\left(\gamma^2(1-\beta^2)\right) c^2t’^2 – ((\left(\gamma^2(1-\beta^2)\right)x’^2+y’^2+z’^2)=c^2t’^2 – (x’^2+y’^2+z’^2)} $$

4次元ベクトルまたはクアドリベクタの擬似ノルムを太字で示します。

これは、4 次元時空で特定されるイベントの 4 ベクトル位置の擬似ノルムと呼ばれます。この量は基準系に依存せず、したがってローレンツ変換に対する不変量を構成することが数学的に示されました。

期間の拡大

すでに、時間 t’ は無限の時間に対応することに注意する必要があります。

:

単純化するために、t’=0 とします。

同じ時間 t’=0 は、将来の正の x の時間 t に対応します。

過去の負の x については、 ！

2 つの参照フレームがあるとします。

、 そして速度 v で正の x 軸に沿った最初の基準座標系に対して均一な直線移動します。

で止まっている時計

点M ‘( x’o _, y’o _, z’o ₎では、次の 2 つのイベントが測定されます。 : ( ct’1 , x’o , _{y’o , z’o )}および( _ct’2 , x’o , _y’o , _{z’o )}は、同じ場所で異なる時間に発生します。

フレーム変更変換によれば、 x ₁ = γ( v t ‘ ₁ + x ‘ _o )およびx ₂ = γ( v t ‘ ₂ + x ‘ _o )となります。リポジトリ内の 2 つのイベント間の期間

M ‘( x ‘ _o , y ‘ _o , z ‘ _o )で発生する時間は次のとおりです: t ‘ ₁ − t ‘ ₂基準フレーム内のこれら 2 つのイベント間の継続時間東 ：

τ ₀ = t ‘ ₁ − t ‘ ₂を静止時の持続時間、 τ = t ₁ − t _{2 を}基準系で観測される持続時間を設定することにより、

、いわゆる持続時間拡張式が得られます。

$$ {\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} $$

したがって、リファレンスから見ると、

x ₁ = γ( v t ‘ ₁ + x ‘ _o )およびx ₂ = γ( v t ‘ ₂ + x ‘ _o )に位置し、基準フレーム内でクロックを同期している 2 人の観測者による時間間隔の測定値は、 _M ‘ ( x’o _, y’o _, z’o )に位置する静止した観測者によって測定されたものと等しくありません。

量τ ₀は固有時間と呼ばれます。として

、量がわかります。 は相対論的不変量です。

郵便屋さん

持続時間の拡張に関与するこの時間は、飛行機の場合、1 + v²/2c² または 1+10^(-10) =1.0000000001 の近似値になります。1 年間の超音速飛行で数マイクロ秒です。地上に残された時計の表示と飛行機に搭載されている時計の表示を比較して時間の遅れを測定するということは信じがたいことです（この実験は 1972 年にアメリカで行われましたが、決定的なものではありませんでした）。しかし、シンクロトロンで生成された粒子を研究している研究者は、時間の遅れ T= γ T’ の影響を日常的に経験しています。

そして今日、GPS システムの衛星に搭載された原子時計は、その表示が地球上に残っている時計と互換性があるように校正されています。

長さの収縮

私たちは、前の段落で述べた状況に身を置いています。長さM ₁ M ₂を測定することは、座標系で 2 つの端 M ₁と M _{2 の}位置を特定することに相当します。時間が経っても動かなければ問題はありません。一方、それらが同じ速度 v で移動する場合、これら 2 つの端を同時に見つける必要があります。したがって、静止状態のルールを考慮します。

、静止状態では長さL ₀です。その端の座標はx ‘ ₁とx ‘ ₂です。その両端のイベントは( t ‘, x ‘ _1,0,0 )および( t ‘, x ‘ _2,0,0 )です。これらのイベントは同時に観測される必要があるためです。 。

ここで、次のように得られるイベント( t ‘ ₁ , x ‘ _1,0,0 )と( t ‘ ₂ , x ‘ _2,0,0 )を考えてみましょう。

:

$$ {\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} x_1=\gamma(x’_1+vt’_1)\\ t_1=\gamma(t’_1+\frac{v}{c^2}x’_1) \end{matrix}\right. &\left\{\begin{matrix} x_2=\gamma(x’_2+vt’_2)\\ t_2=\gamma(t’_2+\frac{v}{c^2}x’_2) \end{matrix}\right.\end{matrix}} $$

これらのイベントが同時に発生するようにt ‘ ₂ − t ‘ ₁を決定しましょう。

、次のことが必要です。

$$ {t_2-t_1=\gamma(t’_2-t’_1+\frac{v}{c^2}(x’_2-x’_1))=0} $$

どちらか ：

$$ {t’_2-t’_1=-\frac{v}{c^2}(x’_2-x’_1)} $$

$$ {x_2-x_1=\gamma(x’_2-x’_1)+\gamma v(t’_2-t’_1)=\frac{1}{\gamma}(x’_2-x’_1)} $$

リポジトリ内で観察されるルールの長さ

それ自体を表現します:

$$ {L=L_{0}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$

したがって、リポジトリ内のルールは短くなります

リポジトリ内のそれ : 運動中の規則 M ₁ M ₂は、M ₁ M ₂が運動している基準系でその長さの測定が行われる場合に短くなります。

したがって、100 メートルのランナー R’ は、R の L ₀ = 100 メートルのトラック上で T’ ₀ =10 秒の適切なタイムを時計で自己計測することになります。ランナーにとって、自分のストライドの速度 v で通過するトラックは、は 100 m ではなく、縮約されます。 L’=L ₀ /γ。一方、トラックジャッジにとってトラックは彼に対して動かない。適切な長さは L ₀ = 100m、時間は T=γT’ _0、つまり拡張されます。ランナーと審判は時間や距離については同意しませんが、速度 v = L’/T’ ₀ = L ₀ /T については同意します。もちろん、100 メートル走者のスピードでは、これらの違いはすべて知覚できません。相対論的効果は、核または銀河のスケールでのみ認識されます。

速度の構成

私たちは日常生活の中で、速度が加算されることを知っています。具体的な例を考えてみましょう。地下鉄に乗り、トレッドミルを時速 5 km で同じ方向に時速 4 km で歩きます。私の対地速度は時速9キロです。ガリレオ式、そして相対論的な速度の合成式を取得する方法を見ていきます。この段落では、すべての動きが同じ軸に平行に行われると仮定します。

ガリラヤ事件

ガリレオの変換は次のとおりです。

$$ { \left\{ \begin{array}{rl} x&=\ x’+vt’\\ t&=\ t’ \end{array} \right. } $$

微分すると次が得られます。

$$ { \left\{ \begin{array}{rl} dx&=\ dx’+vdt’\\ dt&=\ dt’ \end{array} \right. } $$

またはもう一度:

$$ { \left\{ \begin{array}{rl} dx&=\ dt'(\frac{dx’}{dt’}+v)\\ dt&=\ dt’ \end{array} \right. } $$

商は次のようになります: u = u ‘ + v 、

そしてこれは古典的な合成法則であり、速度が加算されます。

相対論的な場合

ローレンツ変換は次のとおりです。

$$ { \left\{ \begin{matrix} x=\gamma(x’+vt’)\\ t=\gamma(t’+\frac{v}{c^2}x’) \end{matrix} \right. } $$

微分すると次が得られます。

$$ { \begin{matrix} dx=\gamma(dx’+vdt’)=\gamma(\frac{dx’}{dt’}+v)dt’\\ dt=\gamma(dt’+\frac{v}{c^2}dx’)=\gamma(1+\frac{v}{c^2}\frac{dx’}{dt’})dt’ \end{matrix} } $$

商は次のようになります。

$$ {\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx’}{dt’}+v}{1+\frac{v}{c^2}\frac{dx’}{dt’}}} $$

どちらか ：

$$ {u=\frac{u’+v}{1+\frac{u’v}{c^2}}} $$

速度の相対論的合成法則: それらは加算されません。

u’ = cの場合、 u = cが得られます。光の速度は両方の座標系で同じです。