導入
次の数学的リストには、同型写像までの次数 17 以下のすべての有限群が含まれています。
用語と表記
- Z n : 次数nの環状群 ( C nと表記されることもあり、Z/ n Z と同型です)。
- D n : 次数 2 nの二面体群( D 2 nまたはアングロサクソンの著者の間ではDihn nと表記されることもあります)。
- S n : n ! を含む次数nの対称群。 n個のオブジェクトの順列。
- A n : 次数nの交互グループ。n 個のオブジェクトのn !/2 個の偶数順列が含まれます。
- Dic n : 次数 4 nの二環式基(en) (四元数グループ Q 4 nを一般化したもの)。
G × Hという表記は、2 つのグループの直積を表します。 G n は、グループGのnコピーの直積を示します。 G
$$ {\rtimes} $$
H は、 H がGに作用する半直接積を示します。 Gに対するHの正確なアクションが省略されると、すべての非自明なアクションは同じ積グループ (同型写像まで) につながります。次数n < 60 の単純群は、 n を素数とする巡回群 Z nです。等号 (「=」) は同型性を示します。
サイクル グラフでは、中立要素は黒丸で表されます。このグラフが同型まで特徴づけていない最小のグループは、次数 16 です。
サブグループのリストには、トリビアル グループおよびグループ全体とは異なるもののみが記載されています。同型サブグループが複数ある場合は、その数を括弧内に示します。
小さな非アーベル集団
非アーベル群の完全な分類はわかっていません。単純な非アーベル群は偶数次数です (これはフェイトとトンプソンの定理です)。最小のものは、次数 60 の A 5群です。奇数次数の最小の非アーベル群は、次数 21 のフロベニウス群 F 21です。
| 注文 | バンド | サブグループ | プロパティ | サイクルグラフ |
|---|---|---|---|---|
| 6 | S3 = D3 | Z3 、 Z2 (3) | 最小の非アーベル群、正三角形の対称の群 | |
| 8 | D4 | Z4 、 Z22 ( 2 )、 Z2 (5) | 正方形の対称のグループ | |
| 四元数グループ = Q 8 = Dic 2 | Z4 (3)、 Z2 | 最小のハミルトニアン群。すべてのサブグループが正規である最小の非アーベル群 | ||
| 10 | D5 | Z5 、 Z2 (5) | 正五角形の対称群 | |
| 12 | D6 ＝ D3 × Z2 | Z6 、 D3 (2)、 Z22 ( 3 )、 Z3 、 Z2 (7) | 正六角形の対称群 | |
| 4時 | Z22 、 Z3 (4)、 Z2 (3 ) | 最小群は群の次数を分割するすべての次数の部分群を認めない: 次数 6 の部分群は認められない (ラグランジュの定理とシロウの定理を参照) | ||
| ディック3 = Z 3 $$ {\rtimes} $$ Z4 | Z2 、 Z3 、 Z4 (3)、 Z6 | |||
| 14 | D7 | Z7 、 Z2 (7) | 正七角形の対称群 | |
| 16 | D8 | Z8 、 D4 (2)、 Z22 ( 4 )、 Z4 、 Z2 (9) | 正八角形の対称群 | |
| D4 × Z2 | D4 (2)、 Z4 × Z2 、 Z23 ( 2 )、 Z22 ( 11 )、 Z4 (2)、 Z2 (11) | |||
| 一般化四元数群Q 16 = Dic 4 | ||||
| Q8 × Z2 | ハミルトニアン群 | |||
| 16 次の準二面体群 | ||||
| 次数 16 のモジュラー グループ(en) | ||||
| Z4 $$ {\rtimes} $$ Z4 | ||||
| パウリ行列によって生成されたグループ | この群は群 Z 4 × Z 2 2と同じ周期グラフを持ちますが、同型ではありません。 | |||
| G 4.4 = Z 2 2 $$ {\rtimes} $$ Z4 |
