七角形について詳しく解説

導入

七角形は、7 つの頂点と 7 つの辺を持つ多角形です。

正七角形は、すべての辺が等しく、すべての角度が等しいものです。角度はすべて次と等しくなります

。正七角形は円に収まり、その各辺に関連付けられた中心角はすべて次のようになります。 。外接円の辺の長さと半径の比は次のようになります。

$$ {\frac{c}{r}=2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\approx 0,86777} $$

正七角形の面積Aは次の式で求められます。cは辺の長さを表します。

$$ {A = \frac{7}{4}c^2 \cot \frac{\pi}{7} \approx 3,63391 c^2.} $$

正七角形は、7 がフェルマーの素数ではない (ガウス ヴァンツェルの定理) ため、定規とコンパスを使って作図できない正多角形の中で最も小さいものです。

ただし、他の幾何学ツールを使用する場合、または定規に目盛を付けることができる場合は、定規とコンパスを使用して作図を行うことも可能です。コンパスと定規を使用して、誤差の少ない近似バージョンを描くことも可能です。

非建設可能性

7 はフェルマー数ではないため、正七角形は構成できません。フェルマー数 を使用せずに、 Wantzel の定理のみを使用して、この非構成可能性の性質を実証することもできます。

もし七角形が構築可能であれば、

構築可能な数値になります。注意しましょう 。角度そして補足的であるため、平等になります

$$ {\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)=-\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right) \quad[1]} $$

開発状況

cos(4 a ) = 8cos ⁴ ( a ) − 8cos ² ( a ) + 1

cos(3 a ) = 4cos ³ ( a ) − 3cos( a )

[1] を次のように変換します

8 × ⁴⁻⁸ × ² ＋1＝−4 × ³ ＋3 ×

すべてをメンバーに渡し、x + 1 で因数分解すると、次のようになります。

( x + 1)(8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1) = 0

したがって、実数x は、 8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1の根であり、既約です。

そして程度3です。 は構築できないため、7 角形は構築できません。

おおよその構造

正三角形を使用する

方程式8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1 = 0の解を近似的に検索します。

ニュートン法による1 は、x の値を 0.901 に近い値とします。 s i n (π / 7)の近似値として、実数の近似値を取得します。 、値 0.901に非常に近いです。でも長さは正三角形を使うと非常に簡単に求めることができます。

したがって、次のような構造になります。

半径 1、中心 M の円を描きます。

円上の点Xを取ります。中心 X、半径 XM の円は、A および Y で前の円と交わります。

線分(AY)と(MX)はHで交差します。

長さ AH は、この同じ円に内接する七角形の辺の適切な近似値です。

この方法によると、中心角は予想される (およそ) 51.43 度ではなく、約 51.32 度になります。つまり、相対誤差は 1,000 あたり 2.15 度になります。

セグメントカットによる施工

エネゴンの構造からインスピレーションを得て、定規とコンパスを使用して、正七角形のおおよその構造をたどることができます。

中心O、半径OXの円を描きます

角度 AÔB = 120°になるように 2 つの点 A と B を円上に配置します。

半径XY、中心Xの円の弧を描きます

半径YX、中心Yの円の弧を描きます

これらの円弧は U 字形に交差します

線(UA)と(UB)を描きます。 C と D で直径(XY) をカットします。

C から任意の直線上に、コンパスを使って 7 つの等しい線分 CE = EF = FG = GH = HI = IJ = JK を運びます。

線 (KD) を引き、G を通ってそれに平行な線を (定規とコンパスを使用して) 描き、G’ で交差 (XY) します。必要に応じて、J’ で (XY) と交差する、J を通る平行線 (KD) を描きます。

線 (UG’) を描きます。G” で円と交差します。

コンパスを使用して円に沿って長さ AG” を計算し、円に内接する正七角形の 7 つの頂点を見つけます。

注: 点 B を含む七角形を作成するには、点 H” または E” を取る必要があります。さらに、点 F” を使用して、AF” を報告することで、頂点 21 個の多角形が得られます。

この構成により、中心角 AOG” は約 51.327 となり、相対誤差は 1,000 分の 1.98 で、前の方法で得られた誤差と同等になります。

この方法を使用すると、任意の正多角形を作成できます。セグメント CD を、ポリゴンに必要な辺と同じ数の同一のセクターに分割するだけです。次に、C (G’) から始まる 3 番目の点を取得し、それを U に接続する線分をトレースし、円とこの線分の交点 ( XY より下の半平面内) で G” を取得します。この方法で中心角に生じる誤差は、辺の数に応じて、1,000 あたり 1.98 から 1,000 あたり 11.7 まで変化します。