導入
統計と確率において、分散は、分布またはサンプルの分散を特徴付けるために使用される任意の尺度です。
意味
X を次数 2 のモーメントを持つ実数確率変数とします。
$$ {\mathbb{E}\left(X^2\right)} $$
、存在します。意味–
$$ {\operatorname{Var}(X)\equiv V(X) \equiv \mathbb{E}\left[(X-\mathbb{E}[X])^2\right]} $$
分散は、平均からの偏差の二乗の平均として解釈できます（厳密には、期待からの偏差の二乗の期待値、俗に言うと、二乗の平均から平均の二乗を引いたもの）。これにより、平均と比較した値の分散を特徴付けることができます。したがって、期待値が同じで分散が大きい分布は、より広がって表示されます。これらの偏差の二乗を平均値からとることにより、正の偏差と負の偏差が互いに打ち消し合うことがなくなります。
表記—私たちはよく次のことに注意します。
$$ {\operatorname{Var}(X)\equiv \sigma^2_X } $$
標準偏差
- $$ {\sigma_x = \sqrt{V(X)}} $$
プロパティ
- 分散は常に正またはゼロです。
- 分散がゼロの場合、これは確率変数が定数に対応することを意味します (すべての実現が同一である)。
- 分散を計算するための別の公式:
財産–
$$ {\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\left[X^2\right]-\mathbb{E}[X]^2} $$
- この式は次のように記述されます。分散は、 Xの 2 乗の期待値からXの期待値の 2 乗を引いたものに等しいです。多くの場合、公式を使用すると、定義よりも簡単に分散を計算できます。
- その証明はケーニッヒ・ホイゲンスの定理で行われます。
- アフィン変換の分散:
財産–
$$ {\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)} $$
このデモンストレーションでは、希望の特性の 1 つを思い出すと役に立ちます。
財産–
$$ {\operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,} $$
すると、次のようになります。
- この特性を通じて、分布を単に移動する (+b を追加する) だけでは分散が変更されないことがわかります。一方、スケールを変更すると (a を掛けると)、分散が二次的に変更されます。この特性により、定数の分散がゼロであるという以前に確立された観察を確認することもできます。 $$ {\operatorname{Var}(b)= 0} $$。
- この特性を通じて、分布を単に移動する (+b を追加する) だけでは分散が変更されないことがわかります。一方、スケールを変更すると (a を掛けると)、分散が二次的に変更されます。この特性により、定数の分散がゼロであるという以前に確立された観察を確認することもできます。
- 2 つの変数の合計の分散
もし
$$ {\operatorname{cov}(X,Y)} $$
は確率変数XとYの共分散を表し、次のようになります。財産–
$$ {\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{cov}(X,Y)} $$
- 2 つの独立した (より一般的には相関のない) 変数の合計の分散
財産–
$$ {\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)} $$
- という事実に注意する必要がある。 $$ {\operatorname{Var}(X-Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)} $$！変数を差し引いても、分散は加算されます。
- という事実に注意する必要がある。
- 双線形性
財産–
$$ {\operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n{X_i}\right) = \sum_{i=1}^n\operatorname{var}(X_i) + 2\sum_{1\le i
財産–
$$ {\operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n{a_i\,X_i}\right) = \sum_{i=1}^na_i^2\,\operatorname{var}(X_i) + 2\sum_{1\le i
- 独立変数 (または 2 対 2 の無相関) の平均の分散と同じ分散の分散σ 2
定義することで
$$ {\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i} $$
財産–
$$ {\operatorname{Var}\left(\overline{X}\right) = \frac{\sigma^2}{n}} $$
