トルソーについて詳しく解説

トルソルは、主に非変形固体の力学で使用される数学的ツールであり、固体の動きと外部環境から固体が受ける機械的作用を説明します。

意味

トルソルは等射影ベクトル場、つまりベクトルが含まれる場です。

各点 P での胴体の「モーメント」と呼ばれます。このような場の特性により、2 点 P および O におけるモーメントにより、バリニョンの関係が証明されます。

$$ {\overrightarrow{\mathcal{M}_P}=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}+\overrightarrow{PO} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}} $$

ここでベクトルは

(任意の等射影場に一意に関連付けられる) は、トルソル合成と呼ばれます。したがって、トルソルは 2 つのベクトルによって決定され、空間内の任意の点Pにおけるその「縮小」を構成します。

• 結果
  $$ {\overrightarrow{\mathcal{R}}} $$
  。このベクトルは一意であり、リダクションポイントとは独立しています。
• 胴体のPモーメント、
  $$ {\overrightarrow{\mathcal{M}_P}} $$
  。

したがって、結果は、特定の点の瞬間から他の瞬間を見つけることを可能にする場の特性ベクトルです。その結果、トルソーはベクトル場の間に次元6 の部分空間を形成します (次元 3 の物理空間の場合)。

次に、次のように書きます。

または、結果とモーメントを正規直交基準に投影することによって

:

ここで、X、Y、Z は結果の座標、L、M、N は瞬間の座標です。これらの座標のセットは、ドイツの数学者Julius Plücker にちなんで、 Pluckerian 座標と呼ばれます。

例

• ある点に関する力のモーメント (またはいくつかの力の合計) の場はトルソルであり、機械的作用のトルソルと呼ばれます。トルクの合力は力の合計です。

• 特定の瞬間における変形不可能な固体の速度場は胴体であり、固体の運動学的胴体と呼ばれます。結果は瞬間的な回転ベクトルです。

• A を質量mと速度が割り当てられた点とする
  $$ {\vec V} $$
  与えられた参照フレームに関して。任意の点P を選択すると、次のようにAからPまでの運動トルクを定義できます。

。この胴体をAの動的胴体と呼びます。その結果として生じるのが勢いです Aの

• 同様に、フィールドによってAの動的胴体を定義します。
  $$ {\overrightarrow{PA} \wedge m\overrightarrow{a}} $$
  または
  $$ {\overrightarrow{a}} $$
  はAの加速度です。力が点Aに適用される場合、力学の基本原理は、ガリレオ座標系(固体力学) における力の胴体と動的胴体の間に同一性があると述べています。

• ゼロモーメントの場はゼロトルクと呼ばれます。これは静的な場合の力場に相当します。

• カップルは一様なベクトル場であるため、結果がゼロになるトルソルによって表されます。物理的には、合力がゼロになる力のねじれに対応します。

• スライダーは、モーメント フィールドが少なくとも 1 つのポイントで消える胴体です。点に加えられる力のトルクはスライダーであり、力のサポートとして機能する線上ではモーメントがゼロになります。回転する固体の速度場はスライダーです。回転軸上の速度はゼロです。スライダーの場合は、次の表記を使用できます。
  $$ {\mathcal {T}_{\vec R / O}} $$
  または
  $$ {\vec R} $$
  は結果を示し、O はモーメントがゼロになる適用点を示します。

• アルキメデスの原理の定式化:

圧力の力のトルクは、考慮されている流体内の重力のトルクと等しく、反対です。

トルソーの特性

等投影性

結果の胴体になります

そしてその瞬間 Oで。 Pでのその瞬間は , そのため、次のようにスカラー積を作成します。 、次を取得します。

$$ {(\overrightarrow{\mathcal M_P} | \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{\mathcal M_O}| \overrightarrow{OP})} $$

この関係は、場の等射影特性と呼ばれます。この特性がトルソーフィールドの特徴であることを示します。言い換えれば、ベクトル場が等射影であれば、それはトルソルのモーメント場になります。これは実際、胴体を定義する最も基本的な方法です。

不変形固体の速度場の等射影性は、これらの物体の運動学的挙動を記述する基本的な特性です。

O と P が同じ不変形固体に属している限り、O のトルクのモーメントを使用して点 P のトルクのモーメントを取得するため、この関係はモーメントの伝達の法則とも呼ばれます。

胴体の軸

結果として得られる胴体を考慮します

ゼロではありません。次に、点P が次のようなものであることを示します。 ～と同一線上にあります胴体の中心軸と呼ばれる直線を形成します。この中心軸は存在し、合成がゼロになるカップルの特定の場合を除いて、どの胴体にも固有です。スライダの場合、中心軸上のモーメントはゼロになります。

固体の運動学的ねじれ (そのモーメントは固体の点の速度です) の場合、結果は瞬間的な回転ベクトルになります。固体の運動は一般に、回転運動と瞬間的な回転軸に平行な並進運動 (ねじ込み) の重ね合わせです。平行移動中の立体の点は、正確に運動学的胴体の中心軸の点です。

機械工で一般的に使用されるトルサー

静的な胴体

運動学的トルソー

キネティックトルソー

運動トルクの結果は、システムのインパルス(運動量とも呼ばれます) で構成されます。その運動量が角運動量です。

ダイナミックトルソー

力学の基本原理

固体力学では、力学の基本原理 (FDP) は、固体に作用することができるが点で対応するものが存在しない対の概念を通じて、固体 (または固体のセット) のすべての点の動きを記述するために一般化されます。力学。 PFD は次のように記述されています。

ガリレオ基準系が存在し、いかなる瞬間においても、このベンチマークに対する固体の運動における動的トルクは、固体に作用する外力のトルクと等しくなります。

物質点の特定の場合 (固体をその慣性中心で報告される質​​量に同化することによって)、PFD はこれらのねじれの結果の等価性、つまり並進力学の基本原理に還元されます。

使用例

棒のバランスが取れており、その点の 1 つ、つまり O に静止し、2 つの力が作用しているとします。

(バーの点A1)および （点A2）。点Oにおける反力をRとします。

ニュートンの法則によれば、バーのバランスが保たれるためには、力の合計とモーメントの合計がゼロでなければなりません。それで、

$$ {\mathcal {T}_{\vec F_1} + \mathcal {T}_{\vec F_2} + \mathcal {T}_{\vec R} = \mathcal {T}_{\vec 0}} $$

(ゼロツイスト)、これは次と同等です。

$$ {\vec F_1 + \vec F_2 + \vec R = \vec 0} $$

そして（以来）

)

$$ {\vec \mathcal M_{\vec F_1 / O} + \vec \mathcal M_{\vec F_2 / O} = \vec 0} $$

。

同様に、点 A1 では、

$$ {\vec \mathcal M_{\vec F_1 / A1} + \vec \mathcal M_{\vec F_2 / A1} + \vec \mathcal M_{\vec R / A1} = \vec 0} $$

。

他の意味

G をグループとする。 G-torsor (英語の G-torsor の直訳) は、G が点を固定せずに推移的に (単一の軌道で) 作用する集合を指します。これは「G のどの要素が単位であるかを忘れる」ことに相当します。したがって、G 胴体と関連するグループ G は同じセットですが、構造が異なります。

アフィン空間は空間平行移動のグループの一例です。2 つの点の加算には意味がありません。一方、それらの差は加算的な平行移動グループの要素、つまりベクトルです。同様に、12 音スケールの音符 (オクターブ識別付き) は、整数 mod の加法グループ Z_12 の G トルソルを形成します。 12、グループ Z_7 の曜日など。実数直線と実数の加法群は別の例です。物理システムのエネルギーは任意の定数を法としてのみ定義されますが、エネルギーの変動は群 R の要素です。

メインバンドルの繊維はG-torsorです。