場の量子理論について詳しく解説

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場の量子理論は、量子物理学の概念を場に適用したものです。単一粒子を記述する理論としての解釈が矛盾していることが判明した相対論的量子力学に由来する量子場の理論は、素粒子物理学、物性物理学、統計物理学で広く使用されている概念的枠組みを提供します。

量子電気力学として知られる、最初に出現した場の量子理論は、特に微細構造定数の高精度測定のおかげで、標準模型の枠組み内での実験結果との対比において、今日最も成功した物理理論の 1 つです。

歴史的

場の量子理論は、ディラックによる量子電気力学の基礎論文「放射線の放出と吸収の量子理論」によって 1927 年に誕生しました。その後、形式主義は 1930 年代に理論家によって開発され議論されましたが、理論家は、測定可能で有限であるはずの物理量の計算中に無限が体系的に現れるという繰り返しの問題に遭遇しました。この困難は 1948 年に、主に日本人の朝永氏とアメリカ人のシュウィンガー氏とファインマン氏による体系的な手順である繰り込みの発明によって完全に克服されました。

量子電気力学、アーベルゲージ理論の成功により、1960 年代と 1970 年代の理論家は場の量子理論の概念を非アーベルゲージ理論に適用し、最終的に現在の素粒子物理学の標準モデルを生み出しました。

さらに、1960 年代の終わりに、カダノフは、統計物理学によって記述される相転移は普遍性とスケール不変性の特性を示すという考えを導入しました。そこでウィルソンは、場の量子論の繰り込み法を臨界現象の記述に適用するというアイデアを思いつきました。 ^{[ 1 ]}

量子場

ディラックによって素粒子から場の理論が導入された方法は、歴史的な理由から第 2 の定量化として知られています。

混乱の原因として次の 2 つについて言及する必要があります。

場は粒子波の二重性にリンクされていません。

古典力学の用語の受け入れにおいて、素粒子はすでにこの二重性を持っています。私たちがフィールドで意味するものは、空間内の任意の点で粒子の生成または消滅を可能にする概念です。他の量子システムと同様に、量子場にはハミルトニアンがあり、シュレーディンガー方程式に従います。

$$ {H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle} $$

(場の理論では、ラグランジュ形式主義は、同等のハミルトニアン形式よりも使いやすいです)

2 番目の定量化では、粒子の識別不能性が占有数の観点から表現されます。

N = 3で、1 つの粒子が_φ1状態にあり、2 つの粒子が_φ2状態にあると仮定します。波動関数の書き方は次のとおりです。

$$ {\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \phi_1(r_1) \phi_2(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_1(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_2(r_2) \phi_1(r_3) \right]} $$

一方、2 番目の定量化では、この関数は単純に次のようになります。

$$ {|1, 2, 0, 0, \cdots \rangle} $$

違いはわずかですが、2 番目の方法では、ステートにパーティクルを追加または削除する作成演算子と消滅演算子を簡単に表現できます。

これらの生成演算子と消滅演算子は、量子力学でエネルギー量子を生成または破壊する量子調和発振器で定義された演算子と非常によく似ています。

これらの演算子は、特定の量子状態で粒子を作成および消滅させます。

たとえば、演算子a ₂には次のような効果があります。

$$ {a_2 | 1, 2, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \sqrt{2}} $$

$$ {a_2 | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle} $$

$$ {a_2 | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle \equiv \quad 0} $$

(係数 √2 は波動関数を正規化します。)

最後に、空間のある点で粒子を生成または消滅させるための「フィールドオペレーター」を導入する必要があります。

単一粒子の場合と同様に、波動関数はその角運動量で表現されるため、場の演算子はフーリエ変換を使用して表現できます。

例えば：

$$ {\phi(\mathbf{r}) \equiv \sum_{i} e^{i\mathbf{k}_i\cdot \mathbf{r}} a_{i}} $$

波動関数と混同しないでください。これはボソン消滅場演算子です。

素粒子物理学におけるハミルトニアンは次のように書かれています。

$$ {H = \sum_k E_k \, a^\dagger_k \,a_k} $$

フィールド作成演算子と消滅演算子の合計として。

これは、 E _kが運動エネルギーである自由ボソン場を表します。実際、このハミルトニアンはフォノンを記述するために使用されます。

フィールドとパーティクル?

はじめに: ローカリゼーションの問題

検出器に「クリック」を記録した実験者は、このイベントを、空間（および時間）で比較的よく局在化した「粒子」の検出として解釈し、量子場とその励起に関連付けたいと考えています。これは次のとおりです。ローカリゼーションの問題。この問題は、非相対論的量子力学では単純な答えがありますが、相対論的量子論では非常に自明ではありません。

非相対論的量子力学における局在化

非相対論的量子力学の文脈では、位置演算子があります。

$$ {\ \hat{\mathrm{r}} \} $$

状態内の粒子の位置を完全に一貫した方法で指定することを可能にするエルミート関数

$$ {| \, \psi \, \rangle} $$

平均位置は次の式で求められます。
$$ {\langle \, \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}} \ | \, \psi \, \rangle} $$
;

この平均位置の周囲の平均二乗偏差 (分散) Δr は次のように定義されます。

この分散が小さいため、量子粒子はより適切に位置が局在化されます。量子力学はそれをゼロにすることを禁止していませんが、その場合、空間的局所化は完全に達成されます。明らかに、ハイゼンベルクの不等式を満たすための運動量の最大の分散が存在します。

相対論的量子力学の位置演算子?

相対論的量子力学では、ローレンツ変換は空間と時間を混合します。古典的な位置ベクトルが「ハイゼンベルクのような」量子位置演算子に関連付けられている場合、時間演算子も存在するはずです。

しかし、パウリによる古い議論では、量子力学にはエルミート時間演算子は存在しないことが示唆されています^{[ 2 ]} 。実際、ハミルトニアン力学では、時間とエネルギーが組み合わされます。ハミルトニアン演算子は、(ネーターの定理による) 時間内での並進の「無限小生成器」です。満足のいく位置と衝動の組み合わせから類推して

$$ {[\hat{\mathrm{x}}^i, \, \hat{\mathrm{p}}_j ] = i \ \hbar \ \hat{\mathrm{\delta}}_j^i} $$

とすると、次のように書くことになります。

$$ {[\hat{\mathrm{H}},\hat{\mathrm{t}}] = (\pm) \ i \ \hbar \ \hat{\mathrm{1}}} $$

。突然、時間演算子は相互にエネルギー変換の微小な生成者となり、エネルギースペクトルは連続体になります。

$$ {\mathbb R} $$

これは、エネルギーの下限が存在しないことを意味します。しかし、量子力学は正確には、有限のエネルギーという基本状態を持つ原子の安定性を説明するために発明されました。

解決策は、位置演算子の概念を放棄し、時空で定義されるフィールド、関数に進むことで構成されます。

ウィグナーの意味での初等システム

ソフトローカリゼーション: Newton-Wigner 位置演算子 (1949)

それにもかかわらず、1949 年に、ニュートンとウィグナー^{[ 3 ]}は、(任意のスピンの) 大質量粒子のための新しい「位置演算子」を構築することに成功しました。いくつかの「合理的な」一般仮説をモジュロすると、物理空間における非ローカル演算子に到達しました。この演算子に関連付けられた「局所的な状態」はディラック分布ではありません。原点の周囲に局在する状態は、遠方では大質量粒子のコンプトン波長に等しい特徴的なスケールを持つ指数関数的減衰を示します。したがって、粒子を時間通りに、または「厳密に」（コンパクトの中で）特定することは不可能です。さらに、これらの局所的な状態は、ローレンツ変換によって不変ではありません。つまり、ある基準系に位置する粒子が別の基準系にあるとは限りません。最後に、ニュートン-ウィグナー構造は、スピン 0 (クライン-ゴードン方程式で記述される) およびスピン 1/2 (ディラック方程式で記述される) のゼロ質量粒子に拡張されますが、残念ながらスピン 1 の光子には拡張されません。

厳密なローカライズは不可能ですか?

マラメントの定理 (1996)

マラメントの定理^{[ 4 ]}

クリフトンとハルバーソンの定理 (2002)

クリフトンとハルバーソンの定理^{[ 5 ]}

注意事項

↑参考、引用、リンク
↑エリック・ガラポンは最近、パウリの推論の妥当性を疑問視した。参照。例: quant-ph/9908033 ; quant-ph/0111061 ; quant-ph/0303106 。
↑ TD ニュートンと EP ウィグナー。素系の局在状態、現代物理学のレビュー 21 (1949)、400 – 406. pdf 。
↑デビッド・B・マラメント;定説を擁護する — なぜ (局所化可能な) 粒子の相対論的量子力学理論は存在できないのか、R Clifton (編集者);量子現実に関する展望、Kluwer (1996)。 PDF 。
↑ハンス・ハルヴァーソンとロブ・クリフトン。相対論的量子論には粒子の入る余地はないのでしょうか? 、科学哲学69 (2002) 1-28。 ArXiv : quant-ph/0103041 。

参考文献

フランス語のテキスト

ラバーン、アラン。 量子放射線、1994 年に Alain Laverne (パリ第 7 大学) によって提供された、電磁放射線の定量化と光子の概念に関するコース。 240ページ。
ベル、ジョン S. 実験的量子場の理論、1977 年にジョン S. ベル (理論物理学、CERN) が実験物理学者に提供した入門コースのアラン・ラバーヌ (パリ第 7 大学) によるフランス語訳。 41ページ。
ベルトラン・ドゥラモット。 群理論のヒント: 回転群とポアンカレ群、1995 年に DEA のベルトラン・ドゥラモット (パリ第 7大学理論物理学および高エネルギー研究室) によって行われた物理学者向けの入門コース (場の量子論コースへのプロレゴメナ)フィールド、粒子、物質」。 127ページ。
ラロエ、フランク。 対称性に関するコース、量子物理学の DEA で Franck Laloë (原子物理学研究所、ENS ウルム、パリ) によって行われた物理学者向けのコース (場の量子論コースへのプロレゴメナ)。
ジン・ジャスティン、ジーン。 相対論的量子力学の無限から繰り込み群まで、第 5 回会議「物理学と基本的な質問」(PIF V) で Jean Zinn-Justin (CEA 理論物理学科) が行った会議のテキスト: 基礎と基礎複雑な。普遍と特異 (III) (1999 年 10 月 27 日、コレージュ・ド・フランス、パリ)。発行者： Michel Crozon & Yves Sacquin (編集)、EDP Sciences (2001)。
ル・ベラック、ミシェル。 臨界現象からゲージ場まで – 場の量子論の方法と応用の紹介、InterEditions/Editions du CNRS (1988)、ISBN 2-86883-359-4。 EDPサイエンスによって再出版されました。

英語のテキスト

フランク・ウィルチェック。場の量子理論、現代物理学のレビュー 71 (1999) S85-S95。 2003 年にノーベル賞を受賞したQCD 修士によって書かれた雑誌記事。 ArXiV: hep-th/9803075
ジー、アンソニー。 「場の量子理論の概要」 、プリンストン大学出版局 (2003)、ISBN 0-691-01019-6。場の量子論への最良の入門書。教育的であり、さらにはエンターテイメントでもあります。凝縮物質の理論と高エネルギーの理論の側面。
ライダー、ルイス・H. Quantum Field Theory 、Cambridge University Press (1985)、ISBN 0-521-33859-X 素粒子物理学に適用された場の量子理論の先例を見事に補完する注目すべき著作。
ペスキン、M およびシュローダー、D. 『場の量子論入門』 (Westview Press、1995)、ISBN 0201503972。ステップごとに詳しく説明されています。
ワインバーグ、スティーブン。 『場の量子理論』、ケンブリッジ大学出版局 (1995)。 1979 年にノーベル賞を受賞したこの分野の専門家による記念碑的な論文 (3 巻)。
ラウドン、ロドニー。光の量子理論(オックスフォード大学出版局、1983 年)、ISBN 0198511558
シーゲル、ウォーレン。 フィールド。 ArXiV: arXiv:hep-th/9912205 )。非定型。
ホーフト、ジェラード。 『場の量子理論の概念基礎』 、科学哲学ハンドブック、エルゼビア (近刊)。 1999 年にノーベル賞を受賞したゲージ理論の修士によって書かれた雑誌記事。 PDF 。
マーク・スレドニキ。 場の量子理論