導入
数学、より正確には代数学では、ガロア理論の基本定理により、物体の構造とガロア群の間の対応関係が確立されます。
この定理により、適切な拡張、つまり分離可能な正規の有限代数拡張の体構造の解析が可能になります。完全体の場合、すべての多項式はこの性質の拡張を認め、それはその根の分解体です。
この定理には多くの応用があり、多項式が根号による解を認めるための必要十分条件がその一例です。この結果は、しばしばアーベル・ルフィニの定理と呼ばれます。
定理の説明
L をKおよびGのガロア群に対する有限次元のガロア拡張とする。 H をGの部分群とし、 L H をHの各要素によって不変なLのすべての要素を含む集合とします。それで：
L HはLの部分体、 LはL Hのガロア拡張、 H はL Hの拡張Lのガロア群です。
グループGのすべてのサブグループをLのサブフィールドに適用し、 L を各サブグループHに関連付けることは全単射です。
H がGの区別された部分群である場合に限り、 Kの拡張L Hはガロアになります。このとき、 L Hのガロア群は商群G / Hと同型です。
デモンストレーション
他の記事で実証された命題
- Artin の補題: Lを体、 G をLの体の有限自己同型群とする。この場合、 Gの各要素によって不変のまま残される要素lの集合Kはサブフィールドです。さらに、 L はKのガロア拡張です。
この命題は、ガロア拡張のプロパティ セクションで実証されています。
- Gのすべてのメンバーによって不変のまま残されるLの要素のセットはKです。
この命題は、ガロア拡張のプロパティ セクションで実証されています。
- F をK を含むLの部分体とすると、 L はFのガロア拡張であり、関連するガロア群はF を不変のままにするGの要素のセットになります。
この命題は、ガロア拡張のプロパティ セクションで実証されています。
- L がK 1の有限拡張である場合、 K 1はKの拡張です。次に、 Kを不変のままにしてK 1から Ω への射は、 K を不変のままにしてLから Ω への射に拡張します。
ここで、Ω はKの代数閉包を表します。 Lがガロア拡張である場合、どのガロア拡張も正規であるため、正規拡張の定義により、拡張は必ずLに値を持ちます。
この命題は、可分拡張の代数閉包における形態論の段落で実証されています。
- F をKの拡張とし、 L をFの拡張とします。 L がKの分離可能な拡張である場合、 L はF上でも分離可能であり、 F はK上でも分離可能です。
この命題は、「分離: 拡張子と本体の場合」の段落で実証されています。
最初の命題の証明
- L HはLの部分体、 LはL Hのガロア拡張、H はL Hの拡張Lのガロア群です。
この命題はArtin の補題の直接の結果です。
2番目の命題の証明
- グループGのすべてのサブグループをLのサブフィールドに適用し、 L を各サブグループHに関連付けることは全単射です。
LのサブフィールドFに対して、 G F をGのサブセットに関連付け、 F を不変のままにするマップφを考えてみましょう。すでに実証した命題の段落の 3 番目の命題は、アプリケーションが明確に定義されていることを証明しています。
この応用が単射的であることを示しましょう。 F 1とF 2 を2 つの異なる物体とします。 l をF 1の要素ではないF 2の要素とする。 2 つのサブボディが異なる場合、インデックスの順列までは常にそのような要素を見つけることが可能です。 H をφ によるF 1の画像とする。この場合、 L は、すでに示した命題の段落の 3 番目の命題に従って、 F 1のガロア拡張です。したがって、すでに示された命題の段落の 2 番目の命題に従ってl を不変にしないHの要素が存在します。したがって、 F 2 はφ によるイメージとしてH を持たず、その適用は単射的です。
定理の最初の命題は、φ が全射であることを示しています。
φ は全単射であり、その逆数も全単射であり、定理の 2 番目の命題を証明します。
第三命題の証明
- H がGの区別された部分群である場合に限り、K の拡張L Hはガロアになります。このとき、 L Hのガロア群は商群G / Hと同型です。
- まず次のことを証明しましょう。
- (1) F がKのガロア拡張であるようなLの部分体である場合、 F上のLのHのガロア群が区別されます。さらに、 g がその制約をFに関連付けるGからHへの写像ψ は全射射であり、そのカーネルはHに等しい。
ψ が明確に定義されており、全射射であることを示しましょう。
F はガロア拡張であるため、 FはKの正規拡張であり、したがってFの射は常にイメージFを持ち、マップ ψ は明確に定義されています。 ψ は明らかに射です。つまり、 h はHの要素であり、すでに証明された命題の段落の 4 番目の命題は、 h をLに拡張できることを示しています。 ψ によるこの拡張のイメージは実際にhに等しく、これは ψ が全射であることを示しています。
ψ のカーネルが H に等しいこと、および H が区別されることを示しましょう。
g をGの要素とします。 gが ψ のカーネル内にあるということは、 gのFへの制限が恒等式、つまりHのメンバーの定義、つまりF を不変のままにするLの自己同型に等しいと言うことです。 H は射のカーネルであるため、区別されます。
- 次に、次のことを実証してみましょう。
- (2) H がGの区別された部分群である場合、 L H はKのガロア拡張です。 F をサブフィールドL Hと表すと、すでに定義されているマップ ψ は全射的であり、カーネルH を持ちます。
Gの要素gによるFの像がFに等しいことを示しましょう。 f をFの要素、 h をHの要素とします。目的は、 g(f)がFの要素であること、つまりhの下で不変であることを示すことです。したがって、 h(g(f)) = g(f)であることを証明する必要があります。この等式は引き続きg -1と書かれます。 h 。 g はHの要素です。この等式は、区別されたサブグループHが該当する場合にのみ真となります。したがって、写像 ψ は、 Fの自己同型の群G 1内のGの射です。
次に、 G 1 が、 K を不変のままにしたFの射のグループに等しいことを示しましょう。等しいことを示すために、Artin の補題は、 G 1によって不変のまま残されたFの要素の集合がKに等しいことを示せば十分であることを示しています。 f をFの要素とし、 Gのg要素が何であれ、 ψ(g)(f) = fとします。次に、 g(f) = fという構成によって、この等式はgのどの要素にも当てはまります。すでに示した命題の段落の 2 番目の命題は、 f がKの要素であることを証明します。したがって、 K を不変のままにして、 G 1とFの射のグループが等しいことを証明しました。
したがって、 K を不変のままにするFの射は画像F を持つため、 F は正規拡張です。すでに証明された命題の段落の 5 番目の命題は、 Fの分離可能性を証明します。したがって、 F はガロア拡張です。マップ ψ は定義上、イメージG 1 を持ちます。 G 1 はK を不変のままにしたFの射のグループに等しいことが示されており、したがって ψ は全射的です。そのカーネルは定義上H.
- 結論
命題(1)と(2)は定理の第3命題に相当します。そしてその結果が実証される。
