さまざまな座標系における加速度の成分はよく知られています。
平面曲線の場合、極座標 (r, θ ) がよく使用されます。
あまり知られていませんが、曲線の定義を対蹠として使用するシステムがあります。O を原点とし、P を曲線 (C) の M における接線への O の投影とします。点P は、曲線に対する O のペダルを表します。 (C): p を距離 OP と呼びます。逆に、点 P におけるペダルに対する垂線は、調査対象の曲線 (C) を囲みます。あまり使用されていない座標系は、ペア (r,p) です。典型的な例は、円と内点 O です。対蹠点は焦点 O を持つ楕円であり、
Siacci 加速度は、(C) 上の移動点 M の加速度を、点 O までの距離 (OM := r と設定) および O からペダルまでの距離 (OP := p と設定) の関数として表します。 ）。
この加速は、セントラル フォースの場合に非常に役立ちます。
2 番目の部分では、一般的な場合のこの加速度の成分を示します。あまり役に立ちませんが、使用される基底が非直交であるため、力学の初心者でも投影と成分の違いを明確に理解できます。
Siacci の公式: 中心力の場合
ニュートンは間違いなく、この公式を最初に特定した人の一人です。しかし、彼が行うデモンストレーションは純粋に幾何学的なものです。
ここでは、より単純に結果が得られるため、ライプニッツの公式 dW = F(r).dr = mv.dv が使用されます。
C を面積定数 (= pv) とします。それで ：
- $$ {\vec{\gamma} = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr}} $$
この式は注目に値します。なぜなら、時間はもはや明示的に介入しないからです (時間は C² に隠されています)。軌道の一次式 r = f(p) または p = g(r) がわかっていれば、力の法則 F(r) を直接取得できます。
使用
- 古典的な例はアイザック ニュートン(1684 年 11 月) です。楕円の場合、その焦点から見たポジュラー方程式は次のとおりです: a²/p² = 2a/r -1 ((注) を参照)
この方程式を導くと、-(a²/p³) dp= -(2a/r²) dr が得られます。したがって、Edmund Halley (1684 年 8 月) が要求した結果は次のとおりです。F(r) は 1/r² です。
- 例: 一定の角速度W で移動する対数螺旋。この場合、p = r.sin α = rk (eadem mutata resurgo, dixit Jacques Bernoulli) であるため、中心加速度は 1/r3 に比例したままになります。これが提案IXです。
- 例: ロバート フックの楕円: ポダリー方程式は ab/p² = a²+ b² + r² です。 F (r) = -m (C²/a²b²) OMということになります。これが命題 X です。
- 例:「垂直」直径OA の円上の O [A(0,2R)]。順序は即時です p = r²/2R: したがって、F(r) = -m 8C²R²/r? : 命題 VII、結果I。
- さまざまな例: 曲線 r^k = a^k cos k θ は次のようになります。
p = r^(k+1)/a^k、したがって F(r) = – C² aç(2k) (k+1)/ r^(2k+3): 次のいずれかの場合です。
- k= 1、円と F ~ 1/ r^5
- k=2、レムニスケート: F ~ 1/r^7
- k=-2、正双曲線 (コリン・デ・フック対称性): F ~ + OM 。
- k= -1 (n+1)=0 したがって、この直線では F= 0
- k=1/2、カーディオイドとその原点 O: F ~ 1/r^4
- k= -1/2: 焦点における放物線と O (ブリッグスの場合): F ~ 1/r^2。
- (注: 楕円には 2 つの焦点があり、r+r’ = 2a、pp’ = a²、p’/r’ =p/r となります)。
公式のデモンストレーション
- 中心力の場合:
すると C = cste となります。力の基本的な仕事は次のとおりです: F(r).dr = m v.dv、または v² = C²/p²、したがって F(r)/m = – C²/p³。 DP/DR
一般的な Siacci 式
OMとVに従って加速度を分解します。これは基底の選択として非常に合理的ですが、明らかに Frenet 基底の方が使いやすいです。
- $$ {\vec{\gamma} = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr} + \vec{V} \frac{C\dot{C}}{C^2}} $$
まず、時間の逆数に対して均一である (1/C)dC/dt という均一性に注目してください。上から見たプランと下から見たプランを区別できないため、C ではなく C² を使用して記述するという選択に注意してください。一般的な規則として、C を正の値としますが、ここでは C(t) は変数です。さらに、t を -t に変更しても加速度は変わりません。
また、中心力の公式と一般の公式の間で第一項（動径）が変わらないという事実も注目に値します。確かに、第 2 項には dC/dt が係数として含まれています。
使用される既知の補題: (r dr) = p。 R は R:=曲率半径 (注を参照)
デモンストレーション: 式をフレネの式と単純に識別します。
第 2 項 (1/C)dC/dt = (1/v)dv/dt + a 項 A = (1/p)dp/dt。
したがって、 V. A + 動径項は正規であり、v²/R Nに等しくなります。
OM = OP + PT = -p N + ( rT ) T = -p N +( rV ) V /v² と書き込みます。
N上のフレネ投影は次のように記述されます: + (C²/rp³) dp/dr .p= v² .dp/(r.dr) =v²/R
T上のフレネ投影は次のように記述されます: (v/p)dp/dt – (C²/rp³).(dp/dr).( rV) / v ;
ここで、 ( rV ) = (r dr)/dt となり、 (v/p)dp/dt – (v²/rp) dp/dt.(r dr)/v となり、キャンセルされます。
注: 第 2 項では、時間を消滅させることができます: T (1/p²)dC/ds。
- 注: これはデモンストレーションです: p = – rNしたがって、 dp = – dr.N + r.dN = 0+ rT d α = ( rT )ds / R = r dr/ R。 QED 。
