導入
| 負の二項式 | |
|---|---|
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| 設定 | |
| サポート | $$ {k \in \{0,1,2,\ldots\}\!} $$ |
| 確率密度(質量関数) | $$ {\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,q^k \!} $$ |
| 分布関数 | I p ( r , k + 1) ここで、 I p ( x , y )は正規化された不完全ベータ関数です |
| 希望 | $$ {r \frac{q}{p}\!} $$ |
| ファッション | |
| 分散 | $$ {r\,\frac{q}{p^2}\!} $$ |
| 非対称性（統計） | $$ {\frac{2-p}{\sqrt{r\,q}}\!} $$ |
| 尖度 (標準化されていない) | $$ {\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,q}\!} $$ |
| モーメント発生機能 | $$ {\left(\frac{p}{1-q e^t}\right)^r \!} $$ |
| 特徴的な機能 | $$ {\left(\frac{p}{1-q e^{i\,t}}\right)^r \!} $$ |
確率と統計では、負の二項分布は離散確率分布です。これは次の状況を説明します。実験は一連の独立した抽選で構成され、確率p (実験全体を通じて一定) で「成功」が得られ、相補的な確率で「失敗」が得られます。この実験は、指定された数n の成功が得られるまで続けられます。 (指定された成功数 n を取得する前) 失敗の数を表す確率変数は、負の二項法則に従います。そのパラメーターは、期待される成功の数であるnと、成功の確率であるpです。この法律は、ブレーズ・パスカルにちなんでパスカルの法則、ジョージ・ポーリャにちなんでポリアの法則としても知られています。
法則は 2 つのパラメーターrおよびpに一般化されます。ここで、 r は厳密に正の実数値を取ることができます。
最初の整数パラメータを持つ負の二項法則
確率の法則
負の二項法則は 2 つのパラメーターに依存し、いくつかのパラメーター化が可能です。非常に広く普及しているパラメータ化では、非ゼロの自然数nと 0 から 1 の間の実数p が導入されます。相補確率q = 1 − pを導入するのが一般的です。 NegBin( n , p ) で示される、パラメーターnおよびpの負の二項に従って分布する確率変数の確率則は、次の形式になります。 k = 0, 1, 2, … の場合
- $$ { f(k;n,p) = {k+n-1 \choose k}\cdot p^n \cdot q^k \!} $$
二項係数は次のとおりです。
- $$ { {k+n-1 \choose k} = C_{n+k-1}^{k} = \frac{(k+n-1)!}{k!(n-1)!} = {k+n-1 \choose n-1}} $$
負の二項法則は、成功の確率が p であることを前提として、n 回の成功を得るまでに必要な失敗の数をカウントする確率変数 X の確率法則です。
- $$ {\mathbb{P}(X=k)=f(k;n;p) = {k+n-1 \choose n-1}\cdot p^n \cdot q^k} $$
負の二項法則は次の形式でも書くことができます。
- $$ {f(k;n,p)={-n\choose k}p^n(-q)^k} $$
または
- $$ {{-n\choose k}= \frac{(-n)(-n-1)\cdots (-n-k+1)}{k!}} $$。
この式は、この確率法則に負の二項法則という名前が付けられることを正当化します。また、負の二項式を使用することで、期待値の計算も容易になります。
代替定義
次のような別の定義が見つかることがあります。パラメータnとp をもつ負の二項法則は、n 回の成功を得るのに必要な試行回数を与える確率変数 Y の法則です。だから、すべてについて
- $$ { \mathbb{P}(Y=m)={m-1 \choose m-n}\cdot p^n\cdot q^{m-n} = {m-1 \choose n-1}\cdot p^n\cdot q^{m-n}} $$
2 つの式は相互に推定されます。 Y = X + n および m = k+n に注意するだけで十分です。
以下では、最初の定義を使用して負の二項法則を定義します。
分布関数
分布関数は、正規化された不完全ベータ関数を使用して表現できます。
- $$ { F(k) = I_{p}(n, k+1) \!} $$
k に関する帰納法による証明は、次のことを証明します。
- $$ { F(k) = 1-q^{k+1}\, \sum_{i=0}^{n-1} C_{k+i}^{i}\cdot p^i\!} $$